Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

  • ID: 18206 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

[image]

Необходимо найти её обратную матрицу

[image]

Вспомним основное соотношение линейной алгебры:

[image]

где Е – единичная матрица.

Перемножая матрицы [image] и [image], получаем [image] уравнений относительно [image] неизвестных[image]:

[image]

где [image]

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для [image], имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

Пример

[image], [image]

Приведем заданную матрицу к единичной, при этом над единичной матрицей будем проводить те же действия, что и над заданной:

Ко второй строке прибавим первую, а из третьей строки вычтем первую:

[image], [image]

Из третьей строки вычтем вторую умноженную на 4

[image], [image]

Теперь производим обратный ход.

Делим третью строку на –5:

[image], [image]

Из второй строки вычтем третью умноженную на 4, а из первой третью умноженную на 3:

[image], [image]

Делим вторую строку на 4, а первую на –1:

[image], [image]

Получили:

[image], [image]

Сделав проверку умножением, получаем[image]

Решение СЛАУ методом квадратного корня

Метод квадратного корня по своему идейному содержанию близок к LU-методу. Основное отличие в том, что он дает упрощение для симметричных матриц.

Этот метод основан на разложении матрицы в произведение

[image]

где S–верхняя треугольная матрица с положительными элементами на главной [image]

[image]

[image]

Из условия (2) получаются уравнения

[image]

Так как матрица А симметричная, не ограничивая общности, можно считать, что в системе (3) выполняется неравенство . Тогда (3) можно переписать в виде

[image]

[image]

[image]

В частности, при получится

[image]

[image] (4)

Далее, при получим

[image]

По формулам (4) и (5) находятся рекуррентно все ненулевые элементы матрицы S.

Обратный ход метода квадратного корня состоит в последовательном решении двух систем уравнений с треугольными матрицами.

[image]