Докажите методом математической индукции

  • ID: 01810 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Задача 1.

Докажите тождества, используя только определения операций над множествами:

1) [image]

2) [image]

Решение:

1) По определению:

[image]

[image]

2) [image]

[image]

Задача 2.

Докажите утверждение

[image], [image]

Решение:

По определению разности множеств имеем:

[image]

Задача 3.

Докажите методом математической индукции

[image] кратно 6 для всех [image]

Решение:

При [image] получаем справедливое тождество: 7 – 1=6 – делится на 6

Установим справедливость индукционного шага. Предположим, что [image] кратно 6 при всех [image].

Докажем справедливость утверждения при [image], т.е. что [image] кратно 6

Имеем:

[image] – так как оба слагаемые кратны 6, то число [image] кратно 6.

Задача 4.

Изобразите [image] и [image] графически. Найдите [image]. Проверьте с помощью матрицы [image], является ли отношение [image] рефлексивным, симметричным, транзитивным?

[image], [image], [image], [image].

[image]

[image]

Решение:

Изобразим [image] графически:

[image]

Изобразим [image]графически:

[image]

Составим матрицы бинарных отношений:

[image] и [image]

По свойству бинарных отношений имеем

[image]

Проверим, является ли отношение [image] рефлексивным, симметричным, транзитивным.

Отношение [image] называется рефлексивным, если [image] для всех [image], т.е. матрица бинарного отношения должна быть единичной, что не выполняется:

[image]

Отношение [image] называется симметричным, если для любых [image]из [image] следует [image], т.е. [image] или [image]. В нашей задаче имеем:

[image]

Значит, отношение [image] не является симметричным.

Отношение [image] называется антисимметричным, если из [image] и [image], следуетт.е. [image] или [image]. В нашей задаче имеем:

[image]