Вариант 01. Найти пределы последовательностей

  • ID: 17530 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 01. Найти пределы последовательностей

Контрольная работа №2

201. Найти пределы последовательностей

;

;

Решение:

а)...

б)...

в)...

- сумма п первых членов убывающей геометрической прогрессии. Вычислим эту сумму

Тогда

211. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

;

;

Решение:

a)...

б)....

в)....

221. а) найти множество точек, в которых непрерывна функция...;

б) найти точки разрыва функции и определить их характер;

в) можно ли доопределить функцию в точках разрыва так, чтобы она стала непрерывной в этих точках?

Решение:

1) функция неопределенна в точке...

Следовательно, в точках... функция терпит разрыв.

Функция непрерывна на множестве...

2) Определим характер точек разрыва:

Т.к...., то точка... разрыв 1-го рода (устранимый).

Т.к. оба односторонних предела конечны..., то в точке... функция имеет разрыв I-го рода (устранимый).

3) Функцию можно доопределить только в точках устранимого разрыва, то есть в точках....

231. Для заданных функций...... и... найти первую и вторую производные. Вычислить значения этих производных в заданных точках.... Для функции... найти уравнение касательной и нормали в точке....

;

;

Решение:

и...

Запишем... и...

Вычислим дифференциалы в точке...

Составим уравнение касательной:...

или....

В итоге уравнение касательной примет вид:...

Составим уравнение нормали:...

или... - уравнение нормали.

241. Найти первую... и вторую... производные функций, заданных параметрически.

Решение:

2....

Продифференцируем обе части равенства по x:....

Преобразуем:.... В итоге получим:...

251. Используя формулы Тейлора для основных элементарных функций, найти первые пять отличных от нуля членов разложения функции... по степеням....

Решение:

Воспользуемся разложением:...

Тогда:...

Таким образом:....

№ 261.

а)....

Вычислим предел выражения:...

Значит....

б)...

261. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках.

Решение:

Значит функция принимает наибольшее и наименьшее значение на концах отрезка....

Ответ:...

271. Из круглого бревна радиуса... вытесывается балка с прямоугольным сечением. Считая, что прочность балки пропорциональна..., где... - основание... - высота прямоугольника, найти отношение..., при котором балка будет иметь наибольшую прочность.

Решение:

281. Построить график функций, провести полное исследование (найти область определения, точки разрыва, интервалы монотонности, точки экстремума, направление выпуклости, точки перегиба, асимптоты).

;

Решение:

а)...

Решение:

1. Область определения функции.

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами нечетной и четной функции.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты в точках разрыва....

Функция не определена в точке.... Исследуем характер разрыва:

Таким образом, в точке... - разрыв 2-го рода.

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонных асимптот нет.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда..., ==> x=0.

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Решая, получим точки:.......

Кроме того:....

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;...)... (...;1) (1;1,5) 1,5 (...;+?)

- 0 - - 0 +

y убывает 0 убывает убывает... возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;-2,3) -2,3 (-2,3;0) 0 (0;1) (1;1,3) 1,3 (1,3;+?)

- 0 + 0 - + 0 -

y выпукла... вогнута 0 выпукла вогнута... выпукла

Построим график функции

б)...

1. Область определения функции:... - вся действительная ось.

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четности и нечетности.

3. Асимптоты.

а) вертикальных асимптот нет в силу непрерывности данной функции.

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонная асимптота....

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда...таких точек пересечения нет с осью ОХ.

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Решая, получим точки:....... Кроме того...

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;-1) -1 (-1;1) 1 (1; +?)

+ 0 - 0 +

y возрастает max

убывает min

возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Точка перегиба.......

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;0) 0 (0; +?)

- 0 +

y выпукла... вогнута

Построим график функции: