Контрольная работа 5, 6: вариант 4

  • ID: 17451 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 5, 6: вариант 4

Контрольная работа №5

Вариант 4

№ 514. Вычислить объем тела..., ограниченного кривыми...

Решение:

Кривая... - уравнение плоскости, причем проекцией на плоскость XY является....

Кривая... - парабола....

Кривая... - парабола....

Выполним чертеж:

Точки пересечения кривых в плоскости XY:......

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

№ 524. Вычислить площадь, перейдя к полярным координатам.

Решение:

Кривая... - окружность радиуса... с центром в точке....

Кривая... - окружность радиуса... с центром в точке....

Выполним чертеж:

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

Перейдем к полярным координатам:

В итоге получим:....

Получим:....

Ответ:....

№ 534. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией......

Решение:

Массу тела определим по формуле:

Область D показана на рисунке:

В итоге масса тела равна:....

№ 544. Вычислить криволинейный интеграл..., причем....

Решение:

В полярной системе координат элемент кривой определяется по формуле:...

Вычислит отдельно каждый из интегралов:

Ответ:....

№ 554. Вычислить работу... вдоль кривой..., причем....

Решение:

Вычислим работу:

Получим:....

№ 564. Проверить, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его.

Решение:

Введем обозначение:... и....

Вычислим:.......

Так как..., получим, что интеграл не зависит от пути интегрирования.

Вычислим интеграл вдоль заданного контура:

Тогда:....

Ответ:....

№ 574. Используя формулу Остроградского найти поток векторного поля... через внешнюю сторону поверхности....

Преобразуем выражение:

- уравнение сферы с центром в точке... и радиусом....

- уравнение сферы с центром в точке... и радиусом....

Решение:

Воспользуемся формулой Остроградского:..., в нашем случае....

Получим:....

Введем обозначение:..., где...- объем нижнего шара.

Область D - окружность радиуса....

Тогда....

Окончательно, получим:....

Ответ:....

Контрольная работа №6

№ 614. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд....

Решение:

Исследуем на сходимость ряд....

Применим интегральный признак:....

Интеграл расходится, следовательно. Значит абсолютной сходимости нет.

Для знакопеременного ряда применим признак Лейбница:

Члены ряда образуют монотонно убывающую последовательность:..., так как... - ряд сходится условно.

№ 624. Найти область сходимости степенного ряда....

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Так как... и... то есть..., то по теореме Лейбница ряд сходится.

При...:....

Применим интегральный признак сходимости рядов:

- интеграл расходится, значит расходится и ряд.

Ответ: Ряд сходится при....

№ 634. Вычислить... с точностью до 0,001.

Решение:

Используем разложение:

Получим:...

Ответ:....

№ 644. При начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

№ 654. Разложить в ряд Фурье функцию... в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

Вычислим:

Ответ:....