Контрольная работа 5, 6: вариант 4

  • ID: 17451 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 4

№ 514. Вычислить объем тела [image], ограниченного кривыми [image]

Решение:

Кривая [image] - уравнение плоскости, причем проекцией на плоскость XY является [image].

Кривая [image] - парабола [image].

Кривая [image] - парабола [image].

Выполним чертеж:

[image]

Точки пересечения кривых в плоскости XY: [image], [image]

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

[image]

[image].

№ 524. Вычислить площадь, перейдя к полярным координатам.

[image]

Решение:

Кривая [image] - окружность радиуса [image] с центром в точке [image].

Кривая [image] - окружность радиуса [image] с центром в точке [image].

Выполним чертеж:

[image]

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

[image].

Перейдем к полярным координатам:

[image]

В итоге получим: [image].

Получим: [image].

[image]

[image].

Ответ: [image].

№ 534. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией [image] [image]

Решение:

Массу тела определим по формуле:

[image]

[image]

Область D показана на рисунке:

[image]

В итоге масса тела равна: [image].

№ 544. Вычислить криволинейный интеграл [image], причем [image].

Решение:

В полярной системе координат элемент кривой определяется по формуле: [image]

[image][image].

Вычислит отдельно каждый из интегралов:

[image][image].

[image]

Ответ: [image].

№ 554. Вычислить работу [image] вдоль кривой [image], причем [image].

Решение:

Вычислим работу:

[image]

[image]

[image]

[image].

Получим: [image].

№ 564. Проверить, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его.

[image].

Решение:

Введем обозначение: [image] и [image].

Вычислим: [image], [image].

Так как [image], получим, что интеграл не зависит от пути интегрирования.