Вариант 1: шифр 37. Дан треугольник. Найти: длину стороны; внутренний угол с точностью до градуса; уравнение и длину

  • ID: 17394 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

ВАРИАНТ №1

Задание 1

Дан треугольник ABC, где.......... Найти:

1. длину стороны АВ;

2. внутренний угол А с точностью до градуса;

3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4. точку пересечения высот;

5. уравнение медианы, проведенной через вершину С;

6. систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC;

7. сделать чертеж.

Решение:

1) AB=...

2) Для поиска угла воспользуемся формулой.... В данном случае k1=kАB, а k2=kАC.

Найдем угловые коэффициенты по формуле:....

;...

Тогда..., ==> ?=arctg... = 180 - arctg... = 131°

3) Составим уравнение высоты CD. Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

=...

=...

=...

Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:

Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

=...

y-4=...(x-5)

=...

=...

Тогда...

4) Точку пересечения двух прямых можно найти, решив систему уравнений, задающих эти прямые, поэтому нужно найти уравнение еще одной высоты, например, BK.

Составим уравнение высоты по известной точке B и угловому коэффициенту:

=...

y=3(x-2)

y=3x-6

=...

Таким образом, высоты пересекаются в точке О(4;6)

5) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка АВ.

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

=...

=...

=...

6. Составим уравнение всех сторон треугольника:

Уравнение стороны АВ уже было составлено: 4x-3y-8=0

Составим уравнение прямой AС по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

=...

y-4=...(x-5)

3y-12=-x+5

=...

Найдем уравнение стороны ВС по 2 точкам:

3x-6=-y

=...

Теперь можно определить систему неравенств. По рисунку видно, что точка (5;3) явно принадлежит треугольнику. Подставим ее координаты в каждое уравнение:

=...

=...

=...

Теперь можно записать систему неравенств:

Построим треугольник

Задание 2

Даны векторы.... Доказать, что векторы... образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора... в этом базисе.

Решение:

Чтобы векторы образовывали базис, они должны быть линейно независимы. Составим определитель из координат векторов............ и вычислим его. Если он не равен нулю, то векторы линейно независимы и, следовательно, образуют базис.

=...

=...

-1 -1 3 -1 -1 3 -1 -1 -1 3

0 1 0 -2

Найдем координаты вектора... в этом базисе. Для этого решим систему уравнений, в матричном виде которая запишется

=...

1 2 -1 1 x2 -4

1 2 3 0 x3 -3

0 -1 -1 -2 x4 4

Таким образом, вектор... имеет координаты:...=(1;-2;0;-1)

Задание 3

Найти производные функций:

а)... б)...

в)... г)...

Решение:

а)...

б)...

в)...

г)...

Задание 4

Исследовать функцию и построить ее график

Решение:

1. Область определения функции.

x-1?0

x?1

x?(-?;1)?(1;+?)

2. Асимптоты.

а) вертикальные

x=1

б) горизонтальные

y=0 - горизонтальная асимптота

в) наклонные

y=k?x+b

==> наклонных асимптот нет

3. Четность и нечетность функции.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: x=0, ==> y=0.

С осью OX: полагаем y=0, тогда

x2=0

x=0

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную функции.

x(x+2)=0

x1=0 x2=-2

не существует при x=1

x (-?;-2) -2 (-2;0) 0 (0;1) 1 (1;+?)

- 0 + 0 - не сущ. -

y убывает min

ymin=... возрастает max

ymax=0 убывает не сущ. убывает

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Найдем вторую производную

x2+4x+1=0

не существует при x=1

x (-?;-2-...) -2-... (-2-...;-2+...) -2+... (-2+...;1) 1 (1;+?)

+ 0 - 0 + не сущ. +

y вогнута перегиб

yпер=

=...?

?-2,629 выпукла перегиб

yпер=

=...?

?-0,704 вогнута не сущ. вогнута

Построим график функции

Задание 5

Решение:

Найти неопределенные интегралы.

Результаты проверить дифференцированием:

а)...; б)...; в)...; г)...

Решение:

а)...

Проверка:

б)...

Проверка:

в)...

Проверка:

г)...

Выделим целую часть

x3-6 2x2-3x-2

x3-3x2/2-x x/2+3/4

3x2/2+x-6

3x2/2-9x/4-3/2

13x/4-9/2

Разложим дробь на простые слагаемые. Для этого сначала разложим знаменатель на множители

2x2-3x-2=0

x1=-... x2=2

Тогда

=...

=...

Тогда

Проверка:

Задание 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

и...

Решение:

=...

Построим графики функций

f1(x)=2x2-2x-1 - парабола.

Вершина параболы...

=...

f2(x)=x2-x-1 - парабола.

Вершина параболы...

=...

Построим графики функций и определим фигуру

Найдем пределы интегрирования

=...

x2-x=0

x(x-1)=0

x1=0 x2=1

Вычислим площадь фигуры по формуле:

В данном случае, y1(x)=x2-x-1, y2(x)=2x2-2x-1, a=0, b=1