Шифр 35: задачи 4,15,25,36,47,58,64,78,86

  • ID: 17311 
  • 18 страниц

Фрагмент работы:

Шифр 35: задачи 4,15,25,36,47,58,64,78,86

Задача 4. Даны вершины треугольника:

А (2; 0) В (-1; 4) С (3; 2)

Сделать чертеж и найти:

длину стороны АВ;

внутренний угол при вершине А;

уравнение высоты, проведенной через вершину С;

уравнение медианы, проведенной через вершину В;

точку пересечения медианы ВЕ и высоты СD;

длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа. Построим точки

А(2;0), В(-1;4), С(3;2) в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Причём..., а точка Е - середина отрезка АС.

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(2;0) и В(-1;4):

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле

Найдем угловые коэффициенты прямых:

Тогда...

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса определяем, что такое значение тангенса соответствует углу...А...63,40.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:

По условию перпендикулярности СD и АВ:...

Ранее (см. п. 2) было найдено:....

Тогда...

Подставим в уравнение... получим

или...;

- уравнение высоты СD.

4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам В(-1;4) и Е..., воспользовавшись формулой:....

- уравнение медианы ВЕ.

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

В результате получим точку пересечения К..., координаты которой соответствуют точке на чертеже (рис. 1).

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле...

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

где....

Получим..., или...;

- уравнение прямой АВ.

Тогда....

Ответы:

1)... 2)... 3)... - уравнение высоты СD;

4)... - уравнение медианы ВЕ; 5) К...; 6)...

Задача 15. Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.

;

а)...; б)...; в)...; г)...; д)....

Решение: В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.

а)....

При подстановке... в знаменатель и числитель дроби убеждаемся, что значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. Неопределенность вида... при... может быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида (х-х0), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на (х-5). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби

=...

б)...

Здесь применима теорема о пределе частного.

в)...

Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю.

г)...

Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

д)....

Пределы числителя и знаменателя дроби равны.... В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида "бесконечность на бесконечность". Теорема о пределе частного здесь не применима.

Чтобы раскрыть неопределенность вида... при..., каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2, отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.

так как............

(по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).

Ответы....

Задача 25. Вычислить пределы: а)...; б)....

Решение:

а)...В рассматриваемых задачах неопределенность вида... была раскрыта после замены бесконечно малых функций на эквивалентные им и сокращения полученных дробей на

бесконечно малую функцию х.

б)...

Очевидно, что

Далее воспользуемся вторым замечательным пределом:

Ответ....

Задача 36. Найти производные данных функций и их дифференциалы.

а)...; б)...; в)...;

г )....

Решение:

а)....

Приведем функцию y к виду, удобному для дифференцирования, используя правила действия со степенями

По правилу дифференцирования суммы и разности функции:

Тогда дифференциал функции y:....

б)...

Воспользуемся правилом дифференцирования частного

где...

Тогда дифференциал функции y:...

в)...

Функция... сложная. Ее можно представить в виде..., где...

Тогда...

Производную функции... находим по правилу дифференцирования произведения:

где...

Таким образом

Тогда дифференциал функции y:....

г)...

Производную второго слагаемого найдем как производную сложной функции... где... применяя формулу

:

Производную функции... найдем как производную функции..., где... применяя формулу....

Таким образом...

Тогда дифференциал функции y:

Задача 47. Исследовать функцию y = f (x) средствами дифференциального исчисления и построить ее график

Решение:

1. Область определения функции.

В нашем примере это множество всех действительных чисел

т.е. x... (-...;+...).

2. Четность и нечетность функции.

Функция не обладает свойствами четности или нечетности. Следовательно, график функции не будет симметричен ни относительно оси Oу, ни относительно начала координат.

3. Периодичность функции.

Данная функция непериодическая, так как является многочленом.

4. Непрерывность функции.

На всей области определения данная функция непрерывна как многочлен.

5. Поведение функции на концах области определения.

Концами области определения являются... и..., так как... Найдем пределы функции при....

Таким образом, слева, при..., график функции уходит неограниченно вверх, а справа, при..., - тоже неограниченно вверх.

6. Интервалы монотонности и точки экстремума.

Вычислим производную функции и найдем критические точки.

Производная существует при любых x.

Решим уравнение...

или...

Следовательно...

Точки... и... критические. Они делят область определения функции на интервалы:... Изобразим эти интервалы на числовой оси

Поведение функции на каждом интервале определяется знаком производной. Для определения знака... на интервале достаточно взять любое значение х из рассматриваемого интервала и подставить его в производную....

а) На интервале... выберем число, например..., и подставим его в производную:...

Так как на интервале... производная..., следовательно, функция y убывает на этом интервале

б) На интервале... возьмем..., подставим в производную, получим... Следовательно, на интервале... функция возрастает.

в) На интервале... возьмем значение.... Видим, что... следовательно, на интервале... функция возрастает.

Замечаем, что при переходе через точку... производная поменяла знак с минуса на плюс, значит... является точкой минимума.

Найдем значение функции y в этой точке:

Таким образом, график имеет минимум в точке....

При переходе через точку... производная сохраняет знак. Это означает, что... - точка возможного перегиба.

7. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем производную второго порядка от рассматриваемой функции.... Так как... то....

Вторая производная существует при любых значениях x.

Найдем точки, где...:

Значения... являются единственными подозрительными на перегиб точками. Эти точки делят область определения... на интервалы... и... и...

а) На интервале... выберем любое число, например... и подставим его во вторую производную.... Получим..., значит, на интервале... график функции вогнут.

б) На интервале... возьмем, например... и подставим во вторую производную. Получим..., значит, на интервале... график функции выпуклый.

в) На интервале... возьмем, например... и подставим во вторую производную. Получим..., значит, на интервале... график функции вогнутый.

Так как при переходе через точки...... вторая производная... меняет знак, то... и... - точки перегиба

8. Точки пересечения графика с осями координат.

На оси Oу......

Получили точку пересечения с осью Oу: (0;0).

На оси Ox..., тогда......

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, получим

или...

Значения функции в точках... и... были найдены ранее:

Таким образом, график функции пересекает ось Оx в точках (0;0) и (-4;0).

Построим график функции. На плоскости Oxy отметим все характерные точки: точки пересечения с осями координат, точки экстремумов, точки перегиба. В силу непрерывности функции соединим все отмеченные точки плавной кривой, продолжив график влево вверх и вправо вверх согласно поведению функции на концах области определения и учитывая характер монотонности и выпуклости графика функции.

Задача 58. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

а)... б)... в)...

г)... д)...

Решение. Вычислим интеграл методом непосредственного интегрирования. При этом используются табличные интегралы от степенных функций:

а)......

Проверка:

Получена подынтегральная функция, что и требовалось показать.

б)...

За новую переменную возьмем показатель степени....

Тогда.........

Проверка:

Получена подынтегральная функция, что и требовалось показать.

в)...

Проверка:

Получена подынтегральная функция, что и требовалось показать.

г)...

Проверка:

Что и требовалось показать.

д)...

Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь, так как и в числителе и в знаменателе стоят многочлены первой степени (наивысшая степень...). Выделим целую часть с помощью следующих преобразований дроби:

Подставим полученное выражение под знак интеграла, получим

Проверка:......

Получена подынтегральная функция.

Задача 64. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями... и... Сделать чертеж.

Решение: Выполним чертеж кривых y=x2+4x+3 и y=-x+3

Построим графики функций

y=x2+4x+3 - парабола.

Вершина параболы...

=...

y=-x+3 - прямая

Найдем пределы интегрирования

=...

x2+5x=0

x(x+5)=0

x1=-5 x2=0

Вычислим площадь фигуры

Задача 78. Найти полный дифференциал функции двух переменных

Решение: Сначала находим частные производные.

здесь... и использована формула....

здесь... и использована формула....

Полный дифференциал функции:

Задача 86. Дана функция... и точка.......

Найти: а) градиент данной функции в точке М;

б) производную данной функции в точке М по направлению вектора.......

Решение:

а) Найдем частные производные:

Вычислим значения... в точке...:

Вектор-градиент равен:...

Величина скорости наибольшего роста функции:

б) Найдем направляющие косинусы вектора...:

;....

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

Так как..., то функция... в точке... в направлении вектора... убывает со скоростью...

Ответ:...;...