Вариант 5: Контрольная работа 1: задачи 15, 35, 55, Контрольная работа 2: задачи 115, 125, 145, 155, 175, 195

  • ID: 17285 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1

Задача 15. Даны координаты вершин пирамиды.... Найти:

1) модули векторов...;

2) угол между векторами... и...;

3) угол между ребром... и гранью...;

4) площадь грани...;

5) объем пирамиды...;

6) уравнение прямой...;

7) уравнение плоскости...;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань....

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:...

2.......

Тогда:...

3. Для определения угла между ребром... и гранью..., определим уравнение грани... по формуле:....

Тогда получим:.... Преобразуя, получим....

или уравнение грани... примет вид:

Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:.......

4. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

5. объем пирамиды... вычислим по формуле:....

В итоге получим:....

6. Используя формулу, определим уравнение прямой...:

Подставляя данные, получим:....

7. Уравнение плоскости... уже было найдено в пункте 3 и имеет вид:

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань...:

А4

h А2

А1

А3

Рис. 1.

Задание 25. Даны вершины... трапеции ABCD.... Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.

Решение:

Уравнение диагонали AC, зная координаты точек A и C, определим по формуле:

Так как по условию задачи диагонали трапеции перпендикулярны, то уравнение диагонали BD определим как уравнение прямой, проходящей через точку... и вектор нормали к прямой AC:

Уравнение прямой BC определим, зная координаты точек B и C:

Прямые BC и AD параллельны. Из свойств параллельности определим уравнение прямой AD, проходящей через точку A:

Ищем точку D как пересечение прямых BD и AD:

Чертеж:

Ответ:....

Задача 35. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки... и от прямой... относятся, как 4:5.

Решение:

Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую заданным условиям. По условию задачи должно выполняться условие....

Тогда расстояние от точки... до точки...:.... Расстояние от точки... до точки...:....

Получим:....

Это уравнение прямой... параллельной оси Оу.

Чертёж:

Задача 55. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить двумя способами: методом Гаусса и средствами матричного исчисления

Дано:...

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме... и решим ее методом Гаусса и с помощью обратной матрицы....

где..........

1). Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

2 -1 -1 4 2 -1 -1 4

3 4 -2 11 ? 3 4 -2 11 ?

3 -2 4 11 3 -2 4 11

2 -1 -1 4 2 -1 -1 4

? 0 -11 1 -10 ? 0 -11 1 -10

0 1 -11 -10 0 0 -120 -120

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит, система линейных алгебраических уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

2) решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

2 -1 -1

=...

3 -2 4

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его с помощью обратной матрицы. Найдем алгебраические дополнения:

=...

-2 4 -2 4 4 -2

=...

3 4 3 4 3 -2

=...

3 -2 3 -2 3 4

Ответ:....

Контрольная работа 2

Задача 115. Вычислить пределы функций.

Решение:

a)...

б)...

в)...

г)...

Задача 125. Задана функция и два значение аргумента.

1. Установить непрерывность или разрыв в данных точках.

2. В случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа.

3. Выполнить схематический чертеж.

Решение:

1)... непрерывна в... и имеет разрыв в...

2)... - предел слева

- предел справа

В точке...... имеет разрыв 2-го рода, т.к. один из пределов равен бесконечности.

3)...

4) Строим график:

Задача 145. Для функции..., вычислить производную....

Решение:

а)....

б)...

в)...

г)...

д)...

Продифференцируем обе части равенства:...

Получим выражение для производной...:....

155. Найти... и...

1)...

2)...

Вычислим предварительно:

Тогда:

Задача 175. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.......

Решение:

x (1/2;1) 1 (1;2)

- 0 +

y убывает -1 возрастает

В точке... минимум.

Значение функции на концах:.......

Наибольшее значение функции:....

Наименьшее значение функции:....

Задача 195. Исследовать с помощью дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

1. Область определения функции.

Так как..., то....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция обладает свойствами нечетной функции, то есть график функции симметричен относительно начала координат. Поэтому достаточно рассмотреть случай....

3. Асимптоты.

Функция непрерывна на всей действительной оси, значит вертикальных асимптот функция не имеет.

а) Горизонтальные асимптоты:

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонная асимптота y = x.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда... ==>....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при......: получим...- критические точки.....

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;-...) -... (-...;0) 0 (0...)... (..., +?)

+ 0 + 0 + 0 +

y возрастает -1,28 возрастает 0 возрастает 1,28 возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

:... - точки перегиба....

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;-0,75) -0,75 (-0,75;0) 0 (0;0,75) 0,75 (0,75;+?)

- 0 + 0 + 0 -

y выпукла -0,25 вогнута 0 вогнута 0,25 выпукла

Построим график функции: