Контрольная работа 5, 6: вариант 9

  • ID: 17261 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Контрольная работа 5, 6: вариант 9

№ 329. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Решение: данное уравнение является однородным. Замена... или....

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

или.......

Интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда....

Используя замену, получим:...

Общее решение примет вид:....

№ 339. Найти общее решение....

Решение: данное уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену....... Тогда уравнение примет вид:... - уравнение линейно относительно переменной z. Сделаем замену.... Имеем....

Пусть.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в исходное уравнение, получим:... или..., интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда..., но......

Общее решение примет вид:....

№ 349. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

- корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:..., откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

№ 429. Исследовать на сходимость числовой ряд....

Решение:

Исследуем на сходимость ряд....

Применим интегральный признак:....

Интеграл расходится, следовательно. Значит, абсолютной сходимости нет.

Для знакопеременного ряда применим признак Лейбница:

Члены ряда образуют монотонно убывающую последовательность:..., так как... - ряд сходится условно.

№ 439. Найти интервал сходимости степенного ряда.......

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Так как... и... то есть..., то по теореме Лейбница ряд сходится.

При...:....

Применим интегральный признак сходимости рядов:

- интеграл расходится, значит расходится и ряд.

Ответ: Ряд сходится при....

№ 449. Вычислить приближенно определённый интеграл..., используя разложение в степенной ряд. Результат получить с точностью до 0,001.

Решение:

Используем разложение:

Получим:...

Ответ:....

№ 459. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения... дифференциального уравнения..., удовлетворяющего начальному условию....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

№ 469. Разложить в ряд Фурье функцию... в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

Вычислим:

Ответ:....