Контрольная работа 5, 6: вариант 9

  • ID: 17261 
  • 4 страницы
350 рубСкачать

17261.doc

Фрагмент работы:

№ 329. Найти общее решение дифференциального уравнения [image].

Решение: данное уравнение является однородным. Замена [image] или [image].

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

[image] или [image], [image].

Интегрируя обе части равенства, получим: [image].

[image], [image]. Тогда [image].

Используя замену, получим: [image]

Общее решение примет вид: [image].

№ 339. Найти общее решение [image].

Решение: данное уравнение не содержит явно [image], поэтому сделаем замену [image], [image]. Тогда уравнение примет вид: [image] - уравнение линейно относительно переменной z. Сделаем замену [image]. Имеем [image].

Пусть [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image]. Подставляя в исходное уравнение, получим: [image] или [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image].

[image]. Тогда [image], но [image], [image]

Общее решение примет вид: [image].

№ 349. Найти общее решение [image] при начальных условиях

[image].

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image], [image] - корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image]

Подставляем и получим: [image], откуда [image].

Тогда [image]. Общее решение: [image] и [image].

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям [image]:

[image], [image], [image]

Находим, что [image], [image].

Окончательно, получим: [image]

№ 429. Исследовать на сходимость числовой ряд [image].

Решение:

Исследуем на сходимость ряд [image].

Применим интегральный признак: [image].

Интеграл расходится, следовательно. Значит, абсолютной сходимости нет.

Для знакопеременного ряда применим признак Лейбница:

[image]. Члены ряда образуют монотонно убывающую последовательность: [image], так как [image] - ряд сходится условно.