Вариант 7. Дан треугольник. Найти: длину стороны; внутренний угол с точностью до градуса; уравнение и длину высоты

  • ID: 17182 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 7. Дан треугольник. Найти: длину стороны; внутренний угол …

ВАРИАНТ №7

Задание 1

Дан треугольник ABC, где.......... Найти:

1. длину стороны AB;

2. внутренний угол A с точностью до градуса;

3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C;

4. точку пересечения высот;

5. уравнение медианы, проведенной через вершину C;

6. систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC;

7. сделать чертеж.

Решение:

1) AB=...

2) Для поиска угла воспользуемся формулой.... В данном случае k1=kАB, а k2=kАC.

Найдем угловые коэффициенты по формуле:....

;...

Тогда..., ==> ?=arctg 3 ? 72°

3) Составим уравнение высоты CD. Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

y+1=3(x-3)

y+1=3x-9

=...

Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:

Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

=...

y-3=...(x-6)

3y-9=-x+6

=...

Тогда...

4) Точку пересечения двух прямых можно найти, решив систему уравнений, задающих эти прямые, поэтому нужно найти уравнение еще одной высоты, например, BK.

Составим уравнение высоты по известной точке B и угловому коэффициенту:

=...

=...

=...

=...

Таким образом, высоты пересекаются в точке О(5;5)

5) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка АВ.

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

=...

=...

6. Составим уравнение всех сторон треугольника:

Уравнение стороны АВ уже было составлено: x+3y-15=0

Составим уравнение прямой AС по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

=...

y-3=...(x-6)

3y-9=4x-24

=...

Найдем уравнение стороны ВС по 2 точкам:

x-9=2y-4

=...

Теперь можно определить систему неравенств. По рисунку видно, что точка (5;1) явно принадлежит треугольнику. Подставим ее координаты в каждое уравнение:

=...

=...

=...

Теперь можно записать систему неравенств:

Построим треугольник

Задание 2

Даны векторы.... Доказать, что векторы... образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора... в этом базисе.

Решение:

Чтобы векторы образовывали базис, они должны быть линейно независимы. Составим определитель из координат векторов............ и вычислим его. Если он не равен нулю, то векторы линейно независимы и, следовательно, образуют базис.

=...

=...

0 2 1 -3 0 -3 1 -1 -3 1 -1 0 1

-1 0 -3 1

Найдем координаты вектора... в этом базисе. Для этого решим систему уравнений, в матричном виде которая запишется

=...

1 -1 2 0 x2 2

-1 -2 1 -3 x3 -1

0 1 -3 1 x4 -5

Таким образом, вектор... имеет координаты:...

Задание 3

Найти производные функций:

а)... б)...

в)... г)...

Решение:

а)...

б)...

в)...

г)...

Задание 4

Исследовать функцию и построить ее график

Решение:

1. Область определения функции.

x-7?0

x?7

x?(-?;7)?(7;+?)

2. Асимптоты.

а) вертикальные

x=7

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=k?x+b

y=x-1 - наклонная асимптота

3. Четность и нечетность функции.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: x=0, ==>....

С осью OX: полагаем y=0, тогда

(x-5)3=0

x=5

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную функции.

=...

x=5 x=11

не существует при x=7

x (-?;5) 5 (5;7) 7 (7;11) 11 (11;+?)

+ 0 + не сущ. - 0 +

y возрастает возрастает не сущ. убывает min

ymin=13,5 возрастает

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Найдем вторую производную

x-5=0

x=5

не существует при x=7

x (-?;5) 5 (5;7) 7 (7;+?)

- 0 + не сущ. +

y выпукла перегиб

yпер=0 вогнута не сущ. вогнута

Построим график функции

Задание 5

Найти неопределенные интегралы.

Результаты проверить дифференцированием:

а)...; б)...; в)...; г)...

Решение:

а)

Проверка:

б)

Проверка:

в)

Проверка:

г)...

Выделим целую часть

x3+4 x2+x-12

x3+x2-12x x-1

-x2+12x+4

-x2-x+12

13x-8

Разложим дробь на простые слагаемые. Для этого сначала разложим знаменатель на множители

x1=-4 x2=3

=...

Тогда

=...

=...

Тогда

Проверка:

Задание 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

и...

Решение:

Построим графики функций

f1(x)=x2-x-1 - парабола, ветви вверх.

Вершина параболы...

=...

f2(x)=-x2-3x-1 - парабола.

Вершина параболы...

=...

Построим графики функций и определим фигуру

Найдем пределы интегрирования

=...

2x2+2x=0

2x(x+1)=0

x1=-1 x2=0

Вычислим площадь фигуры по формуле:

В данном случае, y1(x)=x2-x-1, y2(x)=-x2-3x-1, a=-1, b=0