Контрольная работа 4, шифр 29060

  • ID: 17133 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 4, шифр 29060

Задание 380. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

Решение:

- уравнение линейно относительно переменной y.

Замена.... Имеем....

Пусть.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:... или..., интегрируя обе части равенства, получим:....

Общее решение примет вид:....

Задание 400. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка..., удовлетворяющее указанным условиям....

Решение:

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Корень... - корень кратности 1. Тогда частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:..., тогда....... Подставляем в исходное уравнение и получим:..., откуда.... Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Окончательно, получим:....

Задание 420. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным условиям.

Решение:

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:... - уравнение линейно относительно z.

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:....

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........

Подставляя в исходное уравнение, получим:

Тогда....

Возвращаясь к исходным параметрам, получим:....

Общее решение примет вид:....

Используя начальные данные..., получим:

Частное решение примет вид:....

Задание 440. Дан степенной ряд... написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Причем:....

Решение: дан ряд..., написать первые четыре члена ряда

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Так как... и... то есть..., то по теореме Лейбница ряд сходится.

При...:....

Применим интегральный признак сходимости рядов:... - интеграл расходится. Значит, расходится и ряд.

Ответ: Ряд сходится....

Задание 460. При указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

Задание 480. Из 20 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0.8, 8 - с вероятностью 0.7, 4 - с вероятностью 0.6 и 3 с вероятностью 0.5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел. Какова вероятность того, что он промахнулся? Найти вероятность того, что выбран стрелок из группы 5 метких, если он промахнулся.

Решение:

а) Рассмотрим события:

H1 - стрелок выбран из первой группы.

H2 - стрелок выбран из второй группы.

H3 - стрелок выбран из третьей группы.

H4 - стрелок выбран из четвертой группы

A - стрелок промахнулся, если произведен выстрел.

Тогда

=...

=...

События H1, H2, H3 и H4 образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получим:

=...

б) вероятность, что выбран стрелок из группы 5 метких, если он промахнулся, можно определить по формуле Байеса

Задание 500. Бросаются 5 момент одновременно. X - число выпавших "орлов". k =3. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Построить график функции распределения и найти вероятность события....

Решение:

1) Определим возможные значения случайной величины Х и их вероятности. В данном случае вероятности находим по формуле Бернулли:

=...

Х=0:...

Х=1:...

Х=2:...

Х=3:...

Х=4:...

Х=5:...

Запишем ряд распределения

x 0 1 2 3 4 5

p 0,031 0,156 0,31 0,31 0,156 0,031

Математическое ожидание и дисперсия находятся по формуле:

Для биномиального закона математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам:

Изобразим ряд распределения графически в виде многоугольника

Составим функцию распределения:

Построим график функции распределения