Контрольная работа 4, шифр 29060

  • ID: 17133 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Задание 380. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

Решение:

[image]- уравнение линейно относительно переменной y.

Замена [image]. Имеем [image].

Пусть [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image]. Подставляя в (1), получим: [image] или [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image].

[image].

Общее решение примет вид: [image].

Задание 400. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка [image], удовлетворяющее указанным условиям [image].

Решение:

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image]. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Корень [image] - корень кратности 1. Тогда частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], тогда [image], [image]. Подставляем в исходное уравнение и получим: [image], откуда [image]. Тогда [image].

Общее решение: [image] и [image].

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям [image]:

[image], [image].

Окончательно, получим: [image].

Задание 420. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным условиям.

Решение:

[image].

Уравнение не содержит явно [image], поэтому сделаем замену [image], [image], тогда

уравнение примет вид: [image] - уравнение линейно относительно z.

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде [image].

Получим после подстановки: [image].

Пусть [image], тогда [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image].

Подставляя в исходное уравнение, получим:

[image].

Тогда [image].

Возвращаясь к исходным параметрам, получим: [image].

Общее решение примет вид: [image].

Используя начальные данные [image], получим:

[image], [image].

Частное решение примет вид: [image].