Контрольная работа 3, 4, шифр 10130

  • ID: 17107 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Задача 270. Найти частные производные второго порядка [image] функции [image].

Решение:

[image]. [image].

[image]. [image].

[image].

Задача 290. Исследовать на экстремум функцию [image].

Решение:

1.Находим область определения данной функции [image]. Так как в данной задаче [image] и [image] могут принимать любые значения, то областью определения функции [image] является множество всех пар чисел [image] или, что, тоже самое, все точки координатной плоскости [image].

2. Найдем частные производные данной функции.

[image], [image].

3. Найдем точки, где эти производные равны нулю.

[image].

Таким образом, в области определения имеется лишь одна критическая точка: [image].

4. Найдем вторые производные функции [image].

[image], [image], [image].

5. Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Вычислим значения вторых производных в найденной критической точке [image] и значение величины [image]:

[image], [image], [image].

[image].

Следовательно, значение функции в точке [image] является экстремумом, причем так как A < 0, то точка является максимумом.

6. Найдем значение функции [image] в точке [image]:

[image].

Точка [image] - является точкой максимума функции [image] так как [image].

Задача 310. Построить на плоскости Oxy область интегрирования заданного интеграла [image]; изменить порядок интегрирования и вычислить интеграл.

Решение:

Выполним чертеж заданной области:

[image]

Тогда:

[image]

[image]

Задача 330. Найти объем тела, ограниченного следующими поверхностями [image]. Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.

Решение:

[image]- уравнение гиперболического параболоида.

[image]- уравнение плоскости с образующей, параллельной плоскости yz.

Выполним чертеж:

[image]

[image]

[image].

Объем тела равен: [image].

Задача 350. Найти работу силы [image] при перемещении вдоль линии [image]: [image].

Решение:

Выполним чертеж:

[image]