Контрольная работа 3, 4, шифр 10130

  • ID: 17107 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 3, 4, шифр 10130

Задача 270. Найти частные производные второго порядка... функции....

Решение:

Задача 290. Исследовать на экстремум функцию....

Решение:

1. Находим область определения данной функции.... Так как в данной задаче... и... могут принимать любые значения, то областью определения функции... является множество всех пар чисел... или, что, тоже самое, все точки координатной плоскости....

2. Найдем частные производные данной функции.

3. Найдем точки, где эти производные равны нулю.

Таким образом, в области определения имеется лишь одна критическая точка:....

4. Найдем вторые производные функции....

5. Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Вычислим значения вторых производных в найденной критической точке... и значение величины...:

Следовательно, значение функции в точке... является экстремумом, причем так как A < 0, то точка является максимумом.

6. Найдем значение функции... в точке...:

Точка... - является точкой максимума функции... так как....

Задача 310. Построить на плоскости Oxy область интегрирования заданного интеграла...; изменить порядок интегрирования и вычислить интеграл.

Решение:

Выполним чертеж заданной области:

Тогда:

Задача 330. Найти объем тела, ограниченного следующими поверхностями.... Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.

Решение:

- уравнение гиперболического параболоида.

- уравнение плоскости с образующей, параллельной плоскости yz.

Выполним чертеж:

Объем тела равен:....

Задача 350. Найти работу силы... при перемещении вдоль линии...:....

Решение:

Выполним чертеж:

Кривую L можно задать параметрически:

Тогда:

Задание 370. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

Решение:

Данное уравнение является однородным. Замена... или....

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

или....

Интегрируя обе части равенства, получим:....

Но.... Тогда....

Общее решение примет вид:....

Задание 390. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка..., удовлетворяющее указанным условиям....

Решение:

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:..., тогда....... Подставляем в исходное уравнение и получим:..., откуда.... Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Окончательно, получим:....

Задание 410. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным условиям.

Решение:

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда уравнение примет вид:... - частное решение.

- уравнение с разделяющимися переменными.

Использую начальные данные, получим: C1 = 1.

Тогда

Окончательно

Используя начальные данные, получим:

Частное решение примет вид:....

Задание 430. Дан степенной ряд... написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Причем:....

Решение: дан ряд..., написать первые четыре члена ряда

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Так как... и... то есть..., то по теореме Лейбница ряд сходится.

При...:....

Применим интегральный признак сходимости рядов:... - интеграл расходится. Значит, расходится и ряд.

Ответ: Ряд сходится....

Задание 450. При указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

Задание 470. На сборку поступили транзисторы с двух заводов-изготовителей, причем первый завод поставил 30%, остальные - второй. Вероятность отказа для транзисторов первого завода 0,1, а для второго 0,15. В блок поставлено два наудачу взятых транзистора. Найти вероятность того, что блок неисправен. Какова вероятность, что оба транзистора изготовлены вторым заводом, если блок неисправен? Блок работает, если дефект имеет хоть один транзистор.

Решение:

а) Рассмотрим события:

H1 - первый и второй транзисторы изготовлены на первом заводе

H2 - первый на первом заводе, второй на втором заводе.

H3 - первый на втором заводе, второй на первом заводе.

H4 - первый и второй транзисторы изготовлены на втором заводе

A - блок не исправлен, если наугад поставлены два транзистора

Тогда

P(H1)..., P(H2)..., P(H3)..., P(H4)....

Соответственно

=...

=...

=...

События H1, H2, H3 и H4 образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получим:

=...

б) вероятность, что оба транзистора изготовлены вторым заводом, если блок неисправен, можно определить по формуле Байеса

Задание 490. Производится выстрел из трех орудий одновременно по цели с вероятностями попадания 0,5; 0,6 и 0,7 для каждого орудия. X - попаданий, k = 1. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Построить график функции распределения и найти вероятность события....

Решение:

Производится один выстрел.

1) Определим возможные значения случайной величины Х и их вероятности.

Х=0: P(все промазали)=0,5?0,4?0,3=0,06

Х=1: P(первый попал, 2 и 3 промах)=0,5?0,4?0,3=0,06

Х=2: P(первый промах, второй попал, третий промах)=0,5?0,6?0,3=0,09

Х=3: P(первый промах, второй промах, третий попал)=0,5?0,4?0,7=0,14

Х=4: P(первый попал, второй попал, третий промах)=0,5?0,6?0,3=0,09

Х=5: P(первый попал, второй промах, третий попал)=0,5?0,4?0,7=0,14

Х=6: P(первый промах, второй попал, третий попал)=0,5?0,6?0,3=0,09

Х=7: P(все попали)=0,5?0,6?0,7=0,21

Запишем ряд распределения

x 0 1 2 3 4 5 6 7

p 0,06 0,06 0,09 0,14 0,09 0,14 0,09 0,21

Математическое ожидание и дисперсия находятся по формуле:

или

тогда....

Изобразим ряд распределения графически в виде многоугольника

Составим функцию распределения:

Построим график функции распределения