Контрольная работа 1: задачи 119, 129, 139, 159, 169, 179, Контрольная работа 2: задачи 219, 229, 239, 249, 269 вариант 9

  • ID: 17034 
  • 16 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1: задачи 119, 129, 139, 159, 169, 179, Контрол…

Вариант 9

Контрольная работа №1

№ 119.

Найдем матрицу С:

Найдем обратную матрицу...

Проверка:

Решим систему линейных алгебраических уравнений....

Найдем Х:

Ответ:..........

№ 129.

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса:

Число ненулевых строк как основной, так и расширенной матриц, равно 2, поэтому Rg A = Rg A* =2 и по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Ранг основной матрицы равен 2, поэтому в системе есть 2 базисных и 4-2=2 свободных переменные. Выберем в качестве свободных переменных.... Найдем общее решение неоднородной системы, причем...- базисные неизвестные:

Общее решение

или...

Из общего решения системы найдем какое-нибудь частное решение.

Запишем частное уравнение:

№ 139.

Даны точки.........

Найдем координаты векторов:

1) скалярное произведение:

2) векторное произведение:...

3) смешанное произведение:....

№ 149.

;...;....

Решение:

Точка M является серединой отрезка..., так как...- медиана (свойство медианы).

Составим уравнение прямой...:...

- уравнение медианы....

Составим уравнение высоты.... Так как..., то....

Уравнение стороны... имеет вид:...

Тогда....

Значит уравнение высоты...примет вид:... или

- уравнение....

Ответ:... - уравнение....

- уравнение....

№ 159. Найти проекцию прямой... на плоскость....

Запишем уравнение прямой в параметрической форме:

Найдем координаты точки A, пересечения прямой и плоскости:

Получим точку A с координатами....

Составим уравнение прямой AH перпендикулярной плоскости, причем в качестве направляющего вектора... возьмем вектор нормали:.... Кроме того, при... на прямой возьмем точку B с координатами....

уравнение прямой имеет вид:....

Найдем координаты точки H пересечения плоскости и прямой BH. Для этого решим систему уравнений:

Координаты точки....

Составим по двум точкам уравнение проекции прямой на плоскость (AH):

Ответ:...- уравнение проекции AH.

№ 169....

1) Построим линию по точкам. Составим таблицу для построения:

i ?0 ?

0 0 9

1 15 10,84

2 30 27,27

3 45 -19,15

4 60 -6

5 75 -3,32

6 90 -2,25

7 105 -1,7

8 120 -1,39

9 135 -1,19

10 150 -1,08

11 165 -1,02

12 180 -1

13 195 -1,02

14 210 -1,08

15 225 -1,19

16 240 -1,39

17 255 -1,7

18 270 -2,25

19 285 -3,32

20 300 -6

21 315 -19,15

22 330 27,27

23 345 10,84

24 360 9

Построим график функции по точкам

2) Найдем уравнение линии в декартовой системе координат, воспользовавшись формулами:

Подставим эти формулы в уравнение линии:

Преобразуя последнее выражение, получим:... или....

- уравнение гиперболы. С центром в точке (10;0) и полуосями 10 и 7,5.

№ 179.

а)..........

б) Модуль z:...

в) тригонометрическая форма:...

показательная форма:...

г) найдем z3 по формуле:...

д) Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

=...

при...

при...

при...

при...

Построим корни на комплексной плоскости:

Контрольная работа №2

№ 209.

а)...

б)...

в).......

№ 219.

a)...

б)....

в)....

№ 229.

1) функция неопределенна в точке... и...

Функция... будет непрерывна при....

2)

Определим характер точек разрыва...:

Так как односторонние пределы конечны и неравны, то есть..., то... точка разрыва 1-го рода.

Определим характер точек разрыва...:

Т.к...., то точка... разрыв 1-го рода (устранимый).

3) Функцию можно доопределить только в точках устранимого разрыва, то есть в точке....

№ 239.

Решение:

Вычислим значение... и... в точке...:

и....

Запишем... и...

Вычислим дифференциалы в точке...

Составим уравнение касательной:...

или....

В итоге уравнение касательной примет вид:...

Составим уравнение нормали:....

Тогда... - уравнение нормали.

№ 249.

1....

2.... - неявно заданная функция.

Продифференцируем обе части равенства по x:....

В итоге получим:....

№ 259.

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

при...:...

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда подставляя полученные выражения, получим ряд:

Ответ:...

№ 269.

а)....

Вычислим предел выражения:...

Значит....

б)...

№ 279.

Найти точки экстремума.

- критических точек нет.

Ответ:....

№ 289.

Выполним чертеж:

Введем обозначения:...- ширина доски...- угол наклона...- высота трапеции в сечении...- длинна....

По условию задачи площадью поперечного сечения является трапеция..., где....

По теореме косинусов найдем расстояние... из треугольника ABC, получим:....

Рассмотрим треугольник BHD:......., так как....

Тогда...

Тогда...

Определим, при каком значении..., площадь трапеции будет максимальной.

Таким образом, площадь трапеции будет максимальной при....

Ответ:....

№ 299.

а)...

Решение:

1. Область определения функции.

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами нечетной и четной функции.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты в точках разрыва....

Функция не определена в точке.... Исследуем характер разрыва...:

Таким образом, в точке... - разрыв 2-го рода.

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонная асимптота....

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда..., ==> таких точек нет.

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Решая, получим точки:..........

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;0) 0 (0;1) (1;2) 2 (2;+?)

+ 0 - - 0 +

y возрастает max

убывает убывает min

возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Точек перегиба нет.

Построим график функции:

б)...

1. Область определения функции:... или....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четности и нечетности.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты в точках разрыва....

Функция не определена в точке.... Исследуем характер разрыва...:

- вертикальная асимптота справа.

Таким образом, в точке... - разрыв 2-го рода.

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонных асимптот нет.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: нет точек пересечения

С осью OX: полагаем y=0, тогда...

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Решая, получим, что функция не обладает экстремума. Кроме того, функция монотонно возрастающая.

Построим график функции: