Задачи 330, 340, 350, 430, 440, 470

  • ID: 16051 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Задачи 330, 340, 350, 430, 440, 470

№ 330. Найти общее решение...

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........

Подставляя в (1), получим:

или..., интегрируя обе части равенства, получим:....... Тогда...

Общее решение примет вид:....

№ 340. Найти общее решение....

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:... или.......

Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Используя сделанную ранее замену..., получим:..., интегрируя обе части равенства, получим:... или....

Общее решение примет вид:....

№ 350. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

- корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:...

откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

№ 430. Исследовать на сходимость числовой ряд....

Решение:

Все члены этого ряда положительны, поэтому к нему можно применить признак Даламбера:......, тогда...Так как..., то числовой ряд расходится.

№ 440. Найти область сходимости....

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд сходится по признаку Лейбница, так как... - монотонно убывающая последовательность.....

При...:... - ряд сходится по необходимому свойству сходимости рядов....

Ответ: Ряд сходится при...

№ 450. Вычислить... с точностью до 0,001.

Решение:

Используем разложение:

Получим:...

Ответ:....

№ 460. При начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

№ 470. Разложить в ряд Фурье функцию... в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

Вычислим:

Ответ:....