Контрольная работа 1, 2: вариант 8

Фрагмент работы:

Вариант 8

Контрольная работа №1

№ 118. Даны матрицы:

[image] [image] [image]

Найдем матрицу С:

[image]

[image]

Найдем обратную матрицу [image]

[image]

[image]

[image]

Проверка:

[image]

Решим систему линейных алгебраических уравнений [image].

Найдем Х:

[image] [image]

Ответ: [image], [image], [image]

№ 128. Найти общее решение методом Гаусса и какое-либо частное решение.

[image]

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса:

[image]

Число ненулевых строк как основной, так и расширенной матриц, равно 2, поэтому Rg A = Rg A* =2 и по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Ранг основной матрицы равен 2, поэтому в системе есть 2 базисных и 4-2=2 свободных переменные. Выберем в качестве свободных переменных [image]. Найдем общее решение неоднородной системы, причем [image]- базисные неизвестные:

[image]

Общее решение

[image] или [image]

Из общего решения системы найдем какое-нибудь частное решение.

Запишем частное уравнение: [image]

№ 138. Даны точки [image], [image], [image]. Вычислить:

Найдем координаты векторов:

[image], [image], [image], [image].

1) скалярное произведение:

[image]

[image].

2) векторное произведение: [image]3) смешанное произведение:

[image].

№ 148. Даны вершины треугольника [image]. Составить уравнение медианы [image] и высоты [image], проведенной из вершины [image].

Решение:

Составим уравнение высоты [image]: заметим, что для точки [image], вектором нормали является вектор [image]. Уравнение прямой имеет вид: [image]

[image] или [image].

[image] - уравнение [image]

Найдем координаты точки М как середины отрезка А2А3:

[image], [image], [image].

Составим уравнение медианы [image]: [image] или [image]

[image] - уравнение [image].