Контрольная работа 1, 2: вариант 8

Фрагмент работы:

Вариант 8

Контрольная работа №1

№ 118. Даны матрицы:

Найдем матрицу С:

…

Найдем обратную матрицу...

…

=...

-2 2 -2 2 -1 3

=...

1 2 1 2 -1 3

=...

1 -2 1 -2 -1 -1

Проверка:

…

Решим систему линейных алгебраических уравнений....

Найдем Х:

Ответ:.........

№ 128. Найти общее решение методом Гаусса и какое-либо частное решение.

…

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса:

…

Число ненулевых строк как основной, так и расширенной матриц, равно 2, поэтому Rg A = Rg A* =2 и по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Ранг основной матрицы равен 2, поэтому в системе есть 2 базисных и 4-2=2 свободных переменные. Выберем в качестве свободных переменных.... Найдем общее решение неоднородной системы, причем...- базисные неизвестные:

…

Общее решение

или...

Из общего решения системы найдем какое-нибудь частное решение.

Запишем частное уравнение:...

№ 138. Даны точки.......... Вычислить:

Найдем координаты векторов:

1) скалярное произведение:

…

2) векторное произведение:...3) смешанное произведение:

№ 148. Даны вершины треугольника.... Составить уравнение медианы... и высоты..., проведенной из вершины....

Решение:

Составим уравнение высоты...: заметим, что для точки..., вектором нормали является вектор.... Уравнение прямой имеет вид:...

или....

- уравнение...

Найдем координаты точки М как середины отрезка А2А3:

Составим уравнение медианы...:... или...

- уравнение....

№ 158. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую... и перпендикулярную к плоскости....

Решение:

Составим уравнение прямой, проходящей через точку... перпендикулярно плоскости...:

Составим уравнение плоскости, перпендикулярно полученной прямой и проходящей через точку...:

В итоге, получим:... - искомая плоскость.

№ 168....

1) Построим линию по точкам. Составим таблицу для построения:

i ?0 ?

0 0 8

1 15 7,61

2 30 6,66

3 45 5,56

4 60 4,57

5 75 3,79

6 90 3,2

7 105 2,77

8 120 2,46

9 135 2,25

10 150 2,11

11 165 2,03

12 180 2

13 195 2,03

14 210 2,11

15 225 2,25

16 240 2,46

17 255 2,77

18 270 3,2

19 285 3,79

20 300 4,57

21 315 5,56

22 330 6,66

23 345 7,61

24 360 8

Построим график функции по точкам

…

2) Найдем уравнение линии в декартовой системе координат, воспользовавшись формулами:

…

Подставим эти формулы в уравнение линии:

…

Преобразуем:

…

- эллипса.

Получилось уравнение эллипса с центром в точке О(6;0) и полуосями a=... и b=....

Построим ее график:

№ 178.

а)......

…

б) Модуль z:...

…

в) тригонометрическая форма:...

показательная форма:...

г) найдем z4 по формуле:...

…

д) Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

=...

при...

при...

при...

…

Контрольная работа №2

№ 208.

а)....

б)...

в)...

№ 218.

a)...

б)...в)....

№ 228. Дано.... Найти

а) Множество, где функция... непрерывна.

б) Точки разрыва функции.

Решение:

а) функция неопределенна в точке... и...

Функция... будет непрерывна в области....

б) Определим характер точек разрыва...:

…

Так как односторонние пределы конечны и равны, то есть..., то... разрыв 1-го рода (устранимый).

Определим характер точки разрыва...:

Т.к...., то точка... разрыв 1-го рода.

в) Функцию можно доопределить только в точках устранимого разрыва, то есть в точке....

№ 238.

Решение:

Вычислим значение... и... в точке...:

и....

Запишем... и...

Вычислим дифференциалы в точке...

Составим уравнение касательной:...

или....

В итоге уравнение касательной примет вид:...

Составим уравнение нормали:....

Тогда... - уравнение нормали.

№ 248.

1....

№ 258.

Найти первые 5 членов разложения... по степеням....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

…

при...:...

Найдем пять первых, отличных от нуля члена ряда:

…

Тогда подставляя полученные выражения, получим ряд:

…

Ответ:...

№ 268. Найти наибольшее и наименьшее значение функции... на отрезке....

Решение:

Вычислим экстремумы функции.... Для этого найдем критические точки данной функции, то есть нули первой производной функции:...Вычислим и сравним значения....

Наибольшее значение функция принимает в точке... и равно.... Наименьшее значение функция принимает в точке.... Тогда наименьшее значение равно....

Ответ:

№ 278. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Определить радиус полукруга, при котором окно будет пропускать максимальное количество света, если задан периметр окна.

Решение:

Выполним чертеж к задаче:

…

Пусть АВ = CD = a, BC = AD = 2R.

Тогда по условию задачи периметр сечения равен:....

Вычислим площадь сечения:....

Окончательно, получим:....

Определим значение R, при котором сечение будет наибольшим:

…

Ответ:....

№ 288. Исследовать и построить графики функций.

а)...

Решение:

1. Область определения функции.

…

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами нечетной и четной функции.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты

- вертикальная асимптота в точке разрыва. Исследуем поведение функции в точке разрыва.

…

Значит в точке... - разрыв 2-го рода.

б) горизонтальные

…

Горизонтальная асимптота....

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонная асимптота отсутствует.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;-1) -1 (-1;0) 0 (0;+?)

+ нет - 0 +

y возрастает разрыв убывает min

возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;1/2) 1/2 (1/2;+?)

+ 0 -

y вогнута... выпукла

7. Дополнительная точка

Построим график функции:

…

б)...

1. Область определения функции:....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четной и нечетной функции.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты..., тат как функция имеет разрыв в этих точках.

Так как предел для точки... конечен, то точка... является точкой разрыва 1-го рода.

Так как предел для точки... равны бесконечности, то точка... является точкой разрыва 2-го рода.

б) горизонтальные асимптоты отсутствуют ввиду области определения функции.

в) наклонные y=k?x+b асимптоты отсутствуют так как....

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: отсутствуют так как....

С осью OX: полагаем y=0, тогда....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

…

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (0;1) 1 (1...)... (...;...)

- нет - 0 +

y убывает разрыв убывает min

возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (0;...)... (...;...)

+ 0 -

y вогнута... выпукла

Построим график функции:

…