Задачи 3, 13, 28, 31, 46, 56

  • ID: 15581 
  • 8 страниц

Фрагмент работы:

Задачи 3, 13, 28, 31, 46, 56

Задача 3. Даны вершины треугольника:

А (8;2) В (0;8) С (1;3)

Сделать чертеж и найти:

длину стороны АВ;

внутренний угол при вершине А;

уравнение высоты, проведенной через вершину С;

уравнение медианы, проведенной через вершину В;

точку пересечения медианы ВЕ и высоты СD;

длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа. Построим точки

А (8;2), В (0;8), С (1;3) в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Причём..., а точка Е - середина отрезка АС.

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(8;2) и В(0;8):

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле:

Найдем угловые коэффициенты прямых:

Тогда....

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса определяем, что такое значение тангенса соответствует углу...А...28,70.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:....

По условию перпендикулярности СD и АВ:....

Ранее (см. п. 2) было найдено:..., тогда....

Подставим в уравнение..., получим.......

В итоге получим:... - уравнение высоты СD.

4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам B(0;8) и E(4,5;2,5), воспользовавшись формулой:

- уравнение медианы ВЕ.

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

В результате получим точку пересечения..., координаты которой соответствуют точке на чертеже.

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле:

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

- уравнение прямой АВ.

Тогда

Задача 13.

Вычислить пределы функции..., при указанном поведении аргумента x.

;

а)...; б )...; в)...; г)...; д)...

Решение: В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.

а)....

б)...

в)...

г)...

д)...

Пределы числителя и знаменателя дроби равны.... В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида "бесконечность на бесконечность". Теорема о пределе частного здесь не применима.

Чтобы раскрыть неопределенность вида... при..., каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.

Задание 28. Найти производные данных функций и их дифференциалы.

а)...; б)...; в)...; г)...

Решение:

а)...

б)...

в)...

г)...

Задание 31. Исследовать функцию... средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции.

x?(-?;+?)

2. Четность и нечетность функции.

f(-x)=...(-x)4+(-x)3=...??f(x), поэтому функция свойствами четности или нечетности не обладает

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической как многочлен.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения как многочлен.

5. Поведение функции на концах области определения.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

y'=0 при...

x1=0 x2=-3

Составим таблицу для определения знака производной

x (-?;-3) -3 (-3;0) 0 (0;+ ?)

y' - 0 + 0 +

y убывает минимум

ymin=-27/4 возрастает 0 возрастает

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

y"=0 при...

x=-1

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;-2) -2 (-2;0) 0 (0;+ ?)

y" + 0 + 0 -

y вогнута -4 вогнута... выпукла

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=0.

С осью OX: полагаем y=0, тогда.

9. Дополнительные точки.

x=-1:...

Построим график функции

Задание 46. Найти неопределенный интеграл. Результат проверить дифференцированием.

Решение:

a)....

Проверка:

б)....

Проверка:

в)....

Проверка:

г)...

Вычислим отдельно интеграл:

Решая систему, получим:...

Тогда получим:

Окончательно, получим:

Проверка:

Задание 56. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

Решение:

Решение: Выполним чертеж кривых...

Построим графики функций

- парабола.

Вершина параболы...

=...

y=-x - прямая

Найдем пределы интегрирования

x1=3 x2=0

Вычислим площадь фигуры