Контрольная работа 3, 4, вариант 9

  • ID: 15579 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 3, таблица 2.

Задача 19. Найти решение задачи Коши: [image], [image].

Решение: Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде [image].

Получим после подстановки: [image]. (1)

Пусть [image], тогда [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image]. Подставляя в (1), получим: [image] или [image]. Интегрируя обе части равенства, получим: [image], [image].

Тогда [image].

Общее решение примет вид: [image].

Используя начальные данные [image], получим [image] или [image].

Тогда решением задачи Коши является функция [image].

Задача 39. Найти общее решение дифференциального уравнения [image].

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image]. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image].

Подставляем и получим: [image], откуда [image].

Тогда [image]. Общее решение: [image] и [image].

Задача 59. Дан степенной ряд [image] написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Причем: [image].

Решение: дан ряд [image], написать первые четыре члена ряда

[image]

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера: [image], в нашем случае [image].

Тогда [image].

При [image] - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При [image]: [image] - ряд знакочередующийся.

Так как [image] и [image] то есть [image], то по теореме Лейбница ряд сходится.

При [image]: [image].

Применим интегральный признак сходимости рядов: [image] - интеграл расходится, значит, расходится и ряд.

Ответ: Ряд сходится при [image]

Задача 79. Найти 4 члена разложения в ряд Маклорена функции [image].

Решение:

Ряд Маклорена имеет вид:

[image]

[image], [image], [image].

Тогда: [image].

[image]