Модульный курс по математике

  • ID: 14733 
  • 35 страниц

Фрагмент работы:

Стр. 98.

1. Пусть... - произвольное число. Тогда...

Как только..., то исходное неравенство будет выполняться. Достаточно взять... - цела часть. Значит....

2.

Существует, т.к. x=2 входит в область определения и значение функции в этой точке равно пределу функции при x?2:

и....

3.

4. Переход от значения... к другому значению... можно представить себе так, что значению... придано приращение.... Новое значение функции... разнится от старого... на приращение.... То есть непрерывная функция характеризуется тем, что бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции.

5.

F(x) непрерывна всюду, за исключением нулей функции g(x).

Стр. 99

1. Непрерывность функции... в точке..., означает, что..., такое что при....

Функции... и... называются эквивалентными при..., если..., то есть..., такое что при... в точке....

Тогда.... Возьмем.... Значит по определению... в точке....

2.

Если....

Справедливы асимптотические равенства при...:

эквивалентность имеет место при....

А)..., означает, что... и... есть бесконечно малые одного порядка....

Б)..., означает, что... и... есть бесконечно малые при... одного порядка малости.

В)..., означает, что... при....

Д)..., означает, что... при....

Е)..., означает, что... и... при... являются бесконечно малыми одного порядка малости.

Ж)..., означает, что... и... при... являются бесконечно малыми одного порядка малости.

3.

Стр. 100

4.

5.

6.

Стр. 101.

1.

Условие непрерывности:...

Устранимый разрыв:...

Разрыв I рода:......, причем...

Разрыв II рода:... или (и)...

2.

Если точка является устранимым разрывом.

3.

x1=-1

Т.к. оба односторонних предела конечны, но не равны между собой, то точка x1=-1 является точкой разрыва I рода

x2=0

Т.к. один из односторонних пределов равен бесконечности, то точке x2=0 является разрывом II рода.

Стр. 102.

1.

Нет, так как это противоречит теореме Вейерштрасса (Если функция... определена и непрерывна в замкнутом промежутке..., то она ограничена, то есть существуют такие постоянные и конечные числа m и M такие, что...). Т о есть если функция определена для всех x на некотором промежутке, то это не влечет ее ограниченности.

Пример:... и.... Функция эта принимает только конечные значения, но она не ограничена так как при приближении x к 0 может принимать сколь угодно большие значения. Аналогично можно сказать при приближении x к 1 - может принимать сколь угодно малые значения. Причем в полуоткрытом промежутке она непрерывна, но в точке x = 0 имеет разрыв.

2. Условия непрерывности не достаточно, так как это противоречит теореме Больцано - Коши: пусть функция... определена и непрерывна в замкнутом промежутке... и на концах этого промежутках принимает значения разных знаков. Тогда между a и b найдется точка c, к которой функция обращается в ноль....

В нашем случае, функция... не определена в точках x = -1 и x = 1.

3.

Составим таблицу с расчетами:

n..................

0 -1 0 -0,5 -4 -0,25 1

1 -0,5 0 -0,25 -0,25 0,5 0,5

2 -0,5 -0,25 -0,375 -0,25 0,179688 0,25

3 -0,5 -0,375 -0,4375 -0,25 -0,01855 0,125

4 -0,4375 -0,375 -0,40625 -0,01855 0,084351 0,0625

5 -0,4375 -0,40625 -0,42188 -0,01855 0,03389 0,03125

Словарь терминов по модулю 7

1. Определение по Гейне:

Будем называть... последовательностью Гейне, если... и... при.... Тогда A называется пределом функции f при x, стремящемся к a....

2. Определение конечного предела функции по Борелю:

Пусть дана функция... - предельная точка множества M....

Пусть для любой окрестности... точки A существует проколотая окрестность... точки a такая, что образ этой окрестности... лежит в...:....

3. Определение непрерывности функции на отрезке:

Пусть f - некоторая функция, D(f) - ее область определения... - замкнутый отрезок в D(f).

Назовем функцию f(x) непрерывной на отрезке..., если f непрерывна на интервале..., непрерывна справа в точке от a и непрерывна слева в точке b, то есть

1....

2....

3....

4. Замечательные пределы:

Первый и второй замечательные пределы.

5. Односторонние пределы:

Если... и при этом..., то говорят, что...стремится к а слева, и записывают.... Предел... называют левым пределом функции....

Если... и при этом..., то говорят, что...стремится к а справа, и записывают.... Предел... называют правым пределом функции....

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами. Для существования предела функции... при... стремящемся к а необходимо и достаточно, чтобы....

6. Скачок функции:

Если...- точка разрыва функции..., и существуют конечные пределы... и..., то точка...называется точкой разрыва 1-го рода.

Точки разрыва 1-го рода делятся на:

1) точки устранимого разрыва если...;

2) точки скачка если....

Если хотя бы один из односторонних пределов не является конечным, то точка... есть точка разрыва 2-го рода.

7. Первая теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях:

Если функция... определена и непрерывна в замкнутом промежутке..., то она ограничена, то есть существуют такие постоянные и конечные числа m и M такие, что....

8. Вторая теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях:

Если функция... определена и непрерывна в замкнутом промежутке..., то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений.

9. Первая теорема Коши о непрерывных функциях:

Пусть функция... определена и непрерывна в замкнутом промежутке... и на концах этого промежутках принимает значения разных знаков. Тогда между a и b найдется точка c, к которой функция обращается в ноль....

Стр. 105

1.

Пусть функция...определена на интервале.... Пусть число.... Придадим... приращение...так, чтобы.... Приращение аргумента... вызовет приращение функции.... Относительное приращение функции:....

Пусть функция... в точке... имеет производные всех порядков включительно до n - го порядка. Тогда для функции...справедлива формула Тейлора:

2.

Если функция... в точке... имеет производную..., то приращение функции можно представить в виде..., где... - величина, зависящая от... и вместе с ним стремится к нулю. То есть по определению производной, при......, то полагая... видно, что и.... Теперь из формулы... следует, что соотношение... влечет за собой..., ч.т.д.

3.

Рассмотрим функцию.... Данная функция непрерывна в точке..., но недифференцируемая так как при......, а при.......

4.

Пусть прямая задана на плоскости, не параллельная оси ординат, точка... - абсцисса точки A.

Если угол между касательной и осью Ох стремится к нулю, то угловой коэффициент прямой стремится к угловому коэффициенту кривой, то есть существует невертикальная касательная к кривой в точке A, а значит угловой коэффициент является пределом углового коэффициента секущей...

Из дифференцируемости функции... в точке..., следует существование предела:

но известно, что... - угловой коэффициент наклона касательной в точке.... Уравнение касательной к графику... с абсциссой в точке... имеет вид:.... В точке... угловой коэффициент наклона касательной равен..., то есть...

Стр. 106

5.

Экономический смысл производной: производительность труда есть производная объема продукции по времени. Пусть y(x) -функция, характеризующая, например, издержки производства, где x - количество выпускаемой продукции. Тогда отношение... описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского "average".) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением.... Производная... выражает предельные (маргинальные от английского "marginal") издержки производства. Величину Mf(x) = y' называют мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определить предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и другие предельные величины.

Определение: Отношение... называется темпом прироста функции y. Отношение... называется мгновенным темпом прироста.

Эластичностью функции Ex(y) называется величина.... Будем говорить, что y(x) эластична в точке x, если |Ex(y)|>1, y(x) неэластична, если |Ex(y)|