Контрольная работа 3, 4: вариант 8: задачи 138, 148, 158, 168, 178, 188, 198, 208, 218, 228

  • ID: 14728 
  • 6 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 3, 4: вариант 8: задачи 138, 148, 158, 168, 178…

№ 138. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить

дифференцированием.

а)...

Проверка:...

б)

Проверка:

в)...

Решая систему уравнений, получим:...

Ответ:...

г)

№ 148. Вычислить интеграл или доказать расходимость несобственного интеграла.

Предел этой суммы при независимом стремлении к нулю... и... не существует. Положим.... Тогда.... Интеграл расходится.

№ 158. Вычислить длину дуги..., от точки... до точки....

Длина дуги вычисляется по формуле:...

Получим:

Ответ:...

№ 168. Найти общее решение...

Преобразуем данное уравнение к виду:...

Данное уравнение является однородным. Замена... или....

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

или... - уравнение с разделяющимися переменными.

интегрируя обе части равенства, получим:....

или....

Общее решение примет вид:...

№ 178. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Данное уравнение является уравнением Бернулли:....

Замена:..., тогда...

Получим после подстановки:... - линейное дифференциальное уравнение относительно переменной z.

Ищем решение в виде:.... Подставим и получим:.... (1)

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

где.... Подставляя в (1), получим:

или..., интегрируя обе части равенства, получим:

Тогда...

Общее решение примет вид:....

№ 188. Найти общее решение....

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда после замены, уравнение примет вид:... или....

Интегрируя обе части равенства, получим:

или.... Используя сделанную ранее замену..., получим:..., интегрируя обе части равенства, получим:....

В итоге общее решение дифференциального уравнения примет вид:....

№ 198. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:...

откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

Общее решение:....

Частное решение:....

№ 208. Найти общее решение... системы дифференциальных уравнений.

Дифференцируем первое уравнение и подставляем в первое:..., так как....

Получим.... Составим характеристическое уравнение

Тогда.... Соответственно...

Общее решение примет вид:...

№ 218. Дано.... Показать, что....

Вычислим:

Подставляя в исходное выражение:... верно.

№ 228. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

в области D:...

Построим исследуемую область:

Ищем критические точки внутри области:

Решением системы уравнений является точка.......

Исследуем поведение на границах рассматриваемой области:

1. При........., Точка... уже рассмотрена.

2. При..........

Получим точки......

3. При......

Получим точки:....

Получим точки....

4. В условных точках:

Сравнивая значения..., получим, что

Наибольшее значение....

Наименьшее значение...

5. Определим характер критических точек во всей области.

Критические точки:... и....

Проверим достаточные условия:

значит... не является точкой экстремума.

точка экстремума и это минимум так как....

Ответ:....