Контрольная работа 1, шифр 54

  • ID: 14415 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1

Задача 4. Даны координаты вершин...

Найти:

1. Длины и уравнения сторон треугольника.

Выполним чертёж:

Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:

Уравнение прямой проходящей через две точки:....

Получим:

тогда получим...- уравнение стороны AB.

тогда получим...- уравнение стороны AС.

тогда получим...- уравнение стороны BС.

2. Уравнение высоты AD:

Уравнение ищем в виде..., так как..., то....

Уравнение прямой проведенной через точку A:

- уравнение прямой AD.

3. Уравнение медианы CM:

Точка M является серединой отрезка AB.

Получим.......

Тогда уравнение CM примет вид:... или.......

4. Уравнение вписанной окружности:

По определению центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис.

Ищем биссектрисы углов... и... (AM и BN).

Тогда....

Уравнение биссектрисы AE:...... или....

Аналогично для биссектрисы BN:

Тогда....

Уравнение биссектрисы BN:...... или....

Точку пересечения O (пересечение биссектрис) находим из решения системы двух уравнений:...

Решение системы является....... То есть единственная точка пересечения прямых....

Радиус вписанного круга найдем как расстояние от точки О до прямой АВ по формуле:

Уравнение окружности примет вид:...

Задача 24. Даны координаты вершин пирамиды.... Найти:

1) модули векторов...;

2) угол между векторами... и...;

3) угол между ребром... и гранью...;

4) площадь грани...;

5) объем пирамиды...;

6) уравнение прямой...;

7) уравнение плоскости...;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань....

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:...

2.......

Тогда:...

3. Определим уравнение грани... по формуле:....

Преобразуя, получим....

или уравнение грани... примет вид:....

4. Координаты вектора найдены..., вектор нормали к плоскости...имеет вид:....

Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:.......

5. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

6. объем пирамиды... вычислим по формуле:....

В итоге получим:....

7. Уравнение прямой... определим по формуле:...

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань...:

А4

h А2

А1

А3

Рис. 1.

Задание 44. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки... и прямой.... Выполнить чертеж.

Решение:

Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую заданным условиям. Тогда получим: по условию.... Расстояние от точки M до прямой... определим по формуле:....

В итоге получим выражение:...

Преобразуем и получим:... - уравнение параболы.

Задача 64.

Дано:...

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме...:..., где..........

Решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

1 2 -4

=...

2 -1 5

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его с помощью обратной матрицы. Найдем алгебраические дополнения:

=...

-1 5 -1 5 1 -3

=...

2 5 2 5 3 -3

=...

2 -1 2 -1 3 1

Ответ:....

Задача 82. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений на совместность и решить ее, если она совместна.

Решение:

Чтобы система была совместна, необходимо чтобы ранг основной матрицы и ранг расширенной были равны.

Вычислим ранги обеих матриц, для этого требуется преобразовать расширенную матрицу к треугольному виду.

Для этого, последовательно выполним преобразования:

к второй строке (умноженной на 2) прибавим первую строку (умноженной на -3) к третьей строке (умноженной на 2) прибавим первую строку (умноженной на -5), затем к третьей строке прибавим вторую строку (умноженной на -3)....

В итоге: ранг основной матрицы A и расширенной... равен 2.

Решение системе перепишем в виде:

- базисные неизвестные... - свободная.

Общее решение системы примет вид:...

Контрольная работа 2

Задача 104. Вычислить пределы функций.

Решение:

a)...

б)...

в)...

Задача 124. Для функции..., вычислить производную....

Решение:

а)....

б)...

в)...

г)...

Продифференцируем обе части равенства:...

д)...

Вычислим предварительно:

Тогда:....

Задача 144. Найти приближенное значение....

Решение:

Используем формулу:...

где.... Вычислим...:....

Тогда подставим вычисленные значения в исходную формулу и получим:

Ответ:....

Задача 164.

1. Область определения функции:....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четности и нечетности.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты в точках разрыва....

Функция не определена в точке.... Исследуем характер разрыва...:

Таким образом, в точке... - разрыв 2-го рода.

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонная асимптота....

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: x=0, y=0

С осью OX: полагаем y=0, тогда...

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;-2) -2 (-2;-1) -1 (-1;0) 0 (0; +?)

+ 0 - нет - 0 +

y возрастает max

убывает Не сущ. убывает min

возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Точек перегиба нет.

Строим график:

Задача 184. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого 72 см3, причем стороны основания относятся как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

Решение:

Пусть сторона основания ящика равна x. Тогда другая сторона ящика равна 2x. Высота ящика будет равна....

Вычислим полную поверхность ящика:...

Найдем значение x, при котором функция принимает наибольшее значение:

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;3) (3; +?)

+ -

y возрастает убывает

Точка x = 3 - является точкой максимума, при этом.......

Ответ: размеры ящика....

Задача 204. Вычислить неопределенный интеграл.

а)

б)...

Решая систему уравнений, получим:...

в)...

Задача 224. Вычислить несобственный интеграл или доказать расходимость.

- интеграл сходится.

Задача 244. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

Решение:

Заданы уравнения кривых:....

Изобразим схематически фигуры:

Для вычисления площади воспользуемся формулой:

Ответ:....