Контрольная работа 1, 2, шифр 32

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1

Задача 2. Даны координаты вершин...

Найти:

1. Длины и уравнения сторон треугольника.

Выполним чертёж:

…

Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:

…

Уравнение прямой проходящей через две точки:....

Получим:

или..., тогда получим...- уравнение стороны AB.

или..., тогда получим...- уравнение стороны AС.

или..., тогда получим...- уравнение стороны BС.

2. Уравнение высоты AD:

Уравнение ищем в виде..., так как..., то....

Уравнение прямой проведенной через точку A:

- уравнение прямой AD.

3. Уравнение медианы CM:

Точка M является серединой отрезка AB.

Получим.......

Тогда уравнение CM примет вид:... или.......

4. Уравнение вписанной окружности:

По определению центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис.

Ищем биссектрисы углов... и... (AM и BN).

Тогда....

Уравнение биссектрисы AM:...... или....

Аналогично для биссектрисы BN:

Тогда....

Уравнение биссектрисы BN:...... или....

Точку пересечения O (пересечение биссектрис) находим из решения системы двух уравнений:...

Решение системы является....... То есть единственная точка пересечения прямых....

Радиус вписанного круга найдем как расстояние от точки О до прямой АВ по формуле:

…

Уравнение окружности примет вид:...

Задача 22. Даны координаты вершин пирамиды.... Найти:

1) модули векторов...;

2) угол между векторами... и...;

3) угол между ребром... и гранью...;

4) площадь грани...;

5) объем пирамиды...;

6) уравнение прямой...;

7) уравнение плоскости...;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань....

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:...

2.......

Тогда:...

3. Для определения угла между ребром... и гранью..., определим уравнение грани...:.... Преобразуя, получим....

или уравнение грани... примет вид:....

Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:.......

4. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

5. объем пирамиды... вычислим по формуле:.... В итоге получим:....

6. Используя формулу, определим уравнение прямой...:....

Подставляя данные, получим:....

7. Уравнение плоскости... уже было найдено в пункте 3 и имеет вид:

…

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань...:

А4

h А2

А1

А3

Рис. 1.

Задание 42. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки... и прямой.... Выполнить чертеж.

Решение:

…

Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую заданным условиям. Тогда получим: по условию.... Расстояние от точки M до прямой... определим по формуле:....

В итоге получим выражение:...

Преобразуем и получим:... - уравнение параболы.

Задача 62.

Дано:...

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме...:..., где..........

Решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

2 -3 1

=...

3 -2 6

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его с помощью обратной матрицы. Найдем алгебраические дополнения:

=...

-2 6 -2 6 1 -2

=...

3 6 3 6 1 -2

=...

3 -2 3 -2 1 1

…

Ответ:....

Задача 82. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений на совместность и решить ее, если она совместна.

…

Решение:

Чтобы система была совместна, необходимо чтобы ранг основной матрицы и ранг расширенной были равны.

Вычислим ранги обеих матриц, для этого требуется преобразовать расширенную матрицу к треугольному виду.

Для этого, последовательно выполним преобразования:

к второй строке (умноженной на 2) прибавим первую строку (умноженной на -3) к третьей строке (умноженной на 2) прибавим первую строку (умноженной на -5), затем к третьей строке прибавим вторую строку (умноженной на -3)....

В итоге: ранг основной матрицы A и расширенной... равен 2.

Решение системе перепишем в виде:

- базисные неизвестные... - свободная.

Общее решение системы примет вид:...

Контрольная работа 2

Задача 102. Вычислить пределы функций.

Решение:

a)...

…

б)...

в)...

Задача 122. Для функции..., вычислить производную....

Решение:

а)....

…

б)...

в)...

…

г)...

Продифференцируем обе части равенства:...

д)...

Вычислим предварительно:

Тогда:....

Задача 142. Найти приближенное значение....

Решение:

Используем формулу:...

где.... Вычислим...:.......

Тогда подставим вычисленные значения в исходную формулу и получим:

…

Ответ:....

Задача 162.

…

1. Область определения функции.

Так как..., то....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция обладает свойствами четности.

Так как функция в силу четности симметрична относительно оси Оy, то дальше рассмотрим случай...

3. Асимптоты.

В силу непрерывности функции, вертикальные асимптоты отсутствуют.

а) Горизонтальные асимптоты:

…

Прямая x = 1 - горизонтальная асимптота.

в) наклонные

y=k?x+b

…

Значит: наклонных асимптот нет.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда......==>....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

…

при..., получим x=0 - критическая точка.

Проверим достаточные условия экстремума:

значит x = 0 точка минимума.

Минимальное значение....

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;0) 0 (0; +?)

- 0 +

y убывает min

ymin=-1 возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

…

:... - точек перегиба нет.

Построим график функции:

…

Задача 182. Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

Решение:

Пусть x - искомое число. Рассмотрим функцию....

Найдем значение x, при котором функция принимает наименьшее значение.

…

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;-1) (-1,1) (1; +?)

+ - +

y возрастает убывает возрастает

Точка x = 1 - является точкой минимума, при этом....

Ответ: x = 1.

Задача 202. Вычислить неопределенный интеграл.

а)

б)...

…

Решая систему уравнений, получим:...

…

в)...

…

Задача 222. Вычислить несобственный интеграл или доказать расходимость.

- интеграл сходится.

Задача 242. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

Решение:

Заданы уравнения кривых:....

Найдет точки пересечения графиков данных функций:

Выполним чертеж:

…

Для вычисления площади воспользуемся формулой:

…

Ответ:....

…