Вычислить несобственный интеграл или доказать расходимость
- ID: 14380
- 13 страниц
Часть текста скрыта. После покупки Вы получаете полную версию
Фрагмент работы:
Вычислить несобственный интеграл или доказать расходимость
Контрольная работа 1
ЗАДАЧА 2. Даны координаты вершин...
Найти:
1. Длины и уравнения сторон треугольника.
Выполним чертёж:
…
Расстояние между двумя точками определяется формулой:....
Получим:
…
Уравнение прямой проходящей через две точки:....
Получим:
или..., тогда получим...- уравнение стороны AB.
или..., тогда получим...- уравнение стороны AС.
или..., тогда получим...- уравнение стороны BС.
2. Уравнение высоты AD:
Уравнение ищем в виде..., так как..., то....
Уравнение прямой проведенной через точку A:
- уравнение прямой AD.
3. Уравнение медианы CM:
Точка M является серединой отрезка AB.
Получим.......
Тогда уравнение CM примет вид:... или.......
4. Уравнение вписанной окружности:
По определению центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис.
Ищем биссектрисы углов... и... (AM и BN).
Тогда....
Уравнение биссектрисы AM:...... или....
Аналогично для биссектрисы BN:
Тогда....
Уравнение биссектрисы BN:...... или....
Точку пересечения O (пересечение биссектрис) находим из решения системы двух уравнений:...
Решение системы является....... То есть единственная точка пересечения прямых....
Радиус вписанного круга найдем как расстояние от точки О до прямой АВ по формуле:
…
Уравнение окружности примет вид:...
ЗАДАЧА 22. Даны координаты вершин пирамиды.... Найти:
1) модули векторов...;
2) угол между векторами... и...;
3) угол между ребром... и гранью...;
4) площадь грани...;
5) объем пирамиды...;
6) уравнение прямой...;
7) уравнение плоскости...;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань....
РЕШЕНИЕ:
1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....
Получим:...
2.......
Тогда:...
3. Для определения угла между ребром... и гранью..., определим уравнение грани...:.... Преобразуя, получим....
или уравнение грани... примет вид:....
Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:.......
4. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....
Вычислим векторное произведение этих векторов:....
Тогда площади грани... равна:....
5. объем пирамиды... вычислим по формуле:.... В итоге получим:....
6. Используя формулу, определим уравнение прямой...:....
Подставляя данные, получим:....
7. Уравнение плоскости... уже было найдено в пункте 3 и имеет вид:
…
8. Уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань...:
А4
h А2
А1
А3
Рис. 1.
ЗАДАНИЕ 42. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки... и прямой.... Выполнить чертеж.
РЕШЕНИЕ:
…
Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую заданным условиям. Тогда получим: по условию.... Расстояние от точки M до прямой... определим по формуле:....
В итоге получим выражение:...
Преобразуем и получим:... - уравнение параболы.
ЗАДАЧА 62.
Дано:...
Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме...:..., где..........
Решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:
X=A-1?B
Найдем главный определитель системы
2 -3 1
=...
3 -2 6
Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его с помощью обратной матрицы. Найдем алгебраические дополнения:
=...
-2 6 -2 6 1 -2
=...
3 6 3 6 1 -2
=...
3 -2 3 -2 1 1
…
ОТВЕТ:....
ЗАДАЧА 82. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений на совместность и решить ее, если она совместна.
…
РЕШЕНИЕ:
Чтобы система была совместна, необходимо чтобы ранг основной матрицы и ранг расширенной были равны.
Вычислим ранги обеих матриц, для этого требуется преобразовать расширенную матрицу к треугольному виду.
Для этого, последовательно выполним преобразования:
к второй строке (умноженной на 2) прибавим первую строку (умноженной на -3) к третьей строке (умноженной на 2) прибавим первую строку (умноженной на -5), затем к третьей строке прибавим вторую строку (умноженной на -3)....
В итоге: ранг основной матрицы A и расширенной... равен 2.
Решение системе перепишем в виде:
- базисные неизвестные... - свободная.
Общее решение системы примет вид:...
Контрольная работа 2
ЗАДАЧА 102. Вычислить пределы функций.
РЕШЕНИЕ:
a)...
…
б)...
в)...
ЗАДАЧА 122. Для функции..., вычислить производную....
РЕШЕНИЕ:
а)....
…
б)...
в)...
…
г)...
Продифференцируем обе части равенства:...
д)...
Вычислим предварительно:
Тогда:....
ЗАДАЧА 142. Найти приближенное значение....
РЕШЕНИЕ:
Используем формулу:...
где.... Вычислим...:.......
Тогда подставим вычисленные значения в исходную формулу и получим:
…
ОТВЕТ:....
ЗАДАЧА 162.
…
1. Область определения функции.
Так как..., то....
2. Четность и нечетность функции.
==> функция обладает свойствами четности.
Так как функция в силу четности симметрична относительно оси Оy, то дальше рассмотрим случай...
3. Асимптоты.
В силу непрерывности функции, вертикальные асимптоты отсутствуют.
а) Горизонтальные асимптоты:
…
Прямая x = 1 - горизонтальная асимптота.
в) наклонные
y=k?x+b
…
Значит: наклонных асимптот нет.
4. Точки пересечения графика с осями координат
С осью OY: полагаем x=0, тогда....
С осью OX: полагаем y=0, тогда......==>....
5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.
Найдем производную функции.
…
при..., получим x=0 - критическая точка.
Проверим достаточные условия экстремума:
значит x = 0 точка минимума.
Минимальное значение....
Составим таблицу для определения знака первой производной
x (-?;0) 0 (0; +?)
- 0 +
y убывает min
ymin=-1 возрастает
6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба
Найдем вторую производную
…
:... - точек перегиба нет.
Построим график функции:
…
ЗАДАЧА 182. Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?
РЕШЕНИЕ:
Пусть x - искомое число. Рассмотрим функцию....
Найдем значение x, при котором функция принимает наименьшее значение.
…
Составим таблицу для определения знака первой производной
x (-?;-1) (-1,1) (1; +?)
+ - +
y возрастает убывает возрастает
Точка x = 1 - является точкой минимума, при этом....
ОТВЕТ: x = 1.
ЗАДАЧА 202. Вычислить неопределенный интеграл.
а)
б)...
…
Решая систему уравнений, получим:...
…
в)...
…
ЗАДАЧА 222. Вычислить несобственный интеграл или доказать расходимость.
- интеграл сходится.
ЗАДАЧА 242. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.
РЕШЕНИЕ:
Заданы уравнения кривых:....
Найдет точки пересечения графиков данных функций:
Выполним чертеж:
…
Для вычисления площади воспользуемся формулой:
…
ОТВЕТ:....
…
Информация о работе | |
---|---|
код работы (ID) | 14380 |
просмотров | 1665 |
кол-во страниц | 13 |
кол-во формул | > 192 |
кол-во таблиц | 4 |
кол-во изображений | 10 |
кол-во файлов | 1 шт. |
оформление по ГОСТу | ДА |
были доработки | НЕТ |
проверено преподавателем НГАУ | ДА |