Контрольная работа 1, 2, шифр 32

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1

Задача 2. Даны координаты вершин [image]

Найти:

1. Длины и уравнения сторон треугольника.

Выполним чертёж:

[image]

Расстояние между двумя точками определяется формулой: [image].

Получим:

[image]

[image]

[image]

Уравнение прямой проходящей через две точки: [image].

Получим:

[image] или [image], тогда получим [image]- уравнение стороны AB.

[image] или [image], тогда получим [image]- уравнение стороны AС.

[image] или [image], тогда получим [image]- уравнение стороны BС.

2. Уравнение высоты AD:

Уравнение ищем в виде [image], так как [image], то [image].

Уравнение прямой проведенной через точку A:

[image] - уравнение прямой AD.

3. Уравнение медианы CM:

Точка M является серединой отрезка AB.

Получим [image], [image].

Тогда уравнение CM примет вид: [image] или [image], [image].

4. Уравнение вписанной окружности:

По определению центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис.

Ищем биссектрисы углов [image] и [image] (AM и BN).

[image], [image],

[image], [image].

Тогда [image].

Уравнение биссектрисы AM: [image], [image] или [image].

Аналогично для биссектрисы BN:

[image], [image].

Тогда [image].

Уравнение биссектрисы BN: [image], [image] или [image].

Точку пересечения O (пересечение биссектрис) находим из решения системы двух уравнений: [image]

Решение системы является [image], [image]. То есть единственная точка пересечения прямых [image].

Радиус вписанного круга найдем как расстояние от точки О до прямой АВ по формуле:

[image]

Уравнение окружности примет вид: [image]

Задача 22. Даны координаты вершин пирамиды [image]. Найти:

1) модули векторов [image];

2) угол между векторами [image] и [image];

3) угол между ребром [image] и гранью [image];

4) площадь грани [image];

5) объем пирамиды [image];

6) уравнение прямой [image];