Контрольная работа 5. Найти: градиент данной функции в точке

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 3

Задание 1. Дана функция... и точка...

Найти: а) градиент данной функции в точке М;

б) производную данной функции в точке М по направлению вектора....

Решение:

а)...

Найдем частные производные функции Z в точке M:

б)....

и... были определены ранее. Они равны соответственно... и....

Найдем...:.... Тогда

…

Ответ:...;....

Задание 2. Вычислить объем тела ограниченного кривыми....

Решение:

- уравнение плоскости.

- цилиндр, в сечение окружность с центром в точке... и радиусом....

…

Объем тела равен:....

Задание 3. Даны векторное поле... и плоскость..., которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду.... Пусть... - основание пирамиды, принадлежащее плоскости...;... - контур, ограничивающий...;... - нормаль к..., направленная вне пирамиды.... Требуется вычислить:

1) циркуляцию векторного поля... по замкнутому контуру... по формуле Стокса;

2) поток векторного поля... через полную поверхность пирамиды... в направлении внешней нормали к ее поверхности, применив теорему Остроградского - Гаусса.

Решение:

Выполним чертеж:

…

1) Формула Стокса:.......

Циркуляция векторного потока....

2) По теореме Гаусса - Остроградского поток векторного поля через замкнутую поверхность равен:

…

Поток векторного поля через замкнутую поверхность....

…