Контрольная работа 5. Найти: градиент данной функции в точке

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 3

Задание 1. Дана функция [image] и точка [image]

Найти: градиент данной функции в точке ;

производную данной функции в точке М по направлению вектора [image].

Решение:

а) [image]

Найдем частные производные функции Z в точке M:

[image].

[image].

[image].

б) [image].

[image] и [image] были определены ранее. Они равны соответственно [image] и [image].

[image] [image]

Найдем [image]: [image]. Тогда

[image] [image]

[image]

Ответ: [image]; [image].

Задание 2. Вычислить объем тела ограниченного кривыми [image].

Решение:

[image]- уравнение плоскости.

[image]- цилиндр, в сечение окружность с центром в точке [image] и радиусом [image].

[image]

[image]

[image].

[image]

Объем тела равен: [image].

Задание 3. Даны векторное поле [image] и плоскость [image], которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду [image]. Пусть [image] - основание пирамиды, принадлежащее плоскости [image]; [image] - контур, ограничивающий [image]; [image] - нормаль к [image], направленная вне пирамиды [image]. Требуется вычислить:

циркуляцию векторного поля [image] по замкнутому контуру [image] по формуле Стокса;

поток векторного поля [image] через полную поверхность пирамиды [image] в направлении внешней нормали к ее поверхности, применив теорему Остроградского – Гаусса.

Решение:

Выполним чертеж:

[image]

Формула Стокса: [image][image].

Циркуляция векторного потока [image].

2) По теореме Гаусса – Остроградского поток векторного поля через замкнутую поверхность равен:

[image]

[image]

[image].

Поток векторного поля через замкнутую поверхность [image].