Контрольная работа 3, 4: вариант 8

Фрагмент работы:

№ 238. Дано [image]. Показать, что [image].

Вычислим:

[image],

[image]

[image],[image], [image],

Подставляя в исходное выражение: [image] верно.

№ 248. Дана функция [image] и две точки [image] и [image]. Требуется вычислить

приближенное значение [image] функции в точке В, исходя из значения [image] функции в

точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В

дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность,

получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; составить

уравнение касательной плоскости к поверхности [image] в точке [image].

Дана функция [image] и точки [image], [image].

Вычислим приближенное значение [image] функции в точке В.

[image]

Вычислим приближенное значение [image].

Используем формулу: [image],

где [image].

[image]

Тогда подставил вычисленные значения в исходную формулу и получим:

[image]

Оценим погрешность в (%):

[image]

Составим уравнение касательной плоскости:

Уравнение имеет вид: [image]

В нашем случае имеем: [image] или

[image] - уравнение касательной плоскости.

№ 258. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

[image] в области D:[image]

Построим исследуемую область:

[image]

Ищем критические точки внутри области:

[image]

Решением системы уравнений является точка [image].

[image]

Исследуем поведение на границе:

1. При [image], [image], [image]

Точка [image], [image]

2. При [image], [image], [image].

Точка рассмотрена [image], [image]

3. При [image], [image],

[image], [image].

Получим точки [image].

[image]

4. В условных точках:

[image], [image]

Сравнивая значения [image], получим, что

Наибольшее значение [image].