Контрольная работа 3, 4: вариант 8

Фрагмент работы:

№ 238. Дано.... Показать, что....

Вычислим:

…

Подставляя в исходное выражение:... верно.

№ 248. Дана функция... и две точки... и.... Требуется вычислить

приближенное значение... функции в точке В, исходя из значения... функции в

точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В

дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность

получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; составить

уравнение касательной плоскости к поверхности... в точке....

Дана функция... и точки.......

1. Вычислим приближенное значение... функции в точке В.

2. Вычислим приближенное значение....

Используем формулу:...

где....

…

Тогда подставил вычисленные значения в исходную формулу и получим:

…

3. Оценим погрешность в (%):

4. Составим уравнение касательной плоскости:

Уравнение имеет вид:...

В нашем случае имеем:... или

- уравнение касательной плоскости.

№ 258. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

в области D:...

Построим исследуемую область:

…

Ищем критические точки внутри области:

…

Решением системы уравнений является точка....

…

Исследуем поведение на границе:

1. При.........

Точка......

2. При..........

Точка рассмотрена......

3. При......

Получим точки....

4. В условных точках:

Сравнивая значения..., получим, что

Наибольшее значение....

Наименьшее значение...

№268. Дана функция... и точка...

Найти: а) градиент данной функции в точке М;

б) производную данной функции в точке М по направлению вектора....

Решение:

а)...

Найдем частные производные функции Z в точке M:

…

б)...

и... были определены ранее. Они равны соответственно... и....

Найдем...:.... Тогда

…

Ответ:...;...

№ 288. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить

дифференцированием.

а)...

Проверка:...

б)

Проверка:

в)...

Решая систему уравнений, получим:...

…

Ответ:...

г)

…

№ 308. Вычислить интеграл или доказать расходимость несобственного интеграла.

Предел этой суммы при независимом стремлении к нулю... и... не существует. Положим.... Тогда.... Интеграл расходится.

№ 318. Вычислить длину дуги..., от точки... до точки....

Длина дуги вычисляется по формуле:...

Получим:

Ответ:...

№ 328. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:

или..., интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда...

Общее решение примет вид:....

№ 338. Найти общее решение....

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда после замены, уравнение примет вид:... или....

Интегрируя обе части равенства, получим:

или.... Используя сделанную ранее замену..., получим:..., интегрируя обе части равенства, получим:....

В итоге общее решение дифференциального уравнения примет вид:....

№ 348. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:...

откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

Общее решение:....

Частное решение:....

…