Контрольная работа 1, 2, вариант 7

Фрагмент работы:

Контрольная работа №1.

№1.

а)

-3 6 6

=...

3 3 -9

-8 -6 6

=...

-4 2 0

-3 6 6 -8 -6 6 -11 0 12

=...

3 3 -9 -4 2 0 -1 5 -9

-11 0 12 0 -4 -3

=...

-1 5 -9 -3 3 3

-11*0+0*0+12*(-3) -11*(-4)+0*3+12*3 -11*(-3)+0*4+12*3 -36 80 69

=...

-1*0+5*0-9*(-3) -1*(-4)+5*3-9*3 -1*(-3)+5*4-9*3 27 -8 -4

б)

-11 0 12

=...

-1 5 -9

№2.

3 1 4

=...

2 4 2

=...

4 2 4 2 -3 -1

=...

2 2 2 2 -4 -1

=...

2 4 2 4 -4 -3

…

б)

3 1 4 0,05 -0,35 -0,275

=...

2 4 2 0,25 0,25 0,125

3*0,05+1*(-0,15)+4*0,25 3*(-0,35)+1*0,05+4*0,25 3*(-0,275)+1*0,325+4*0,125 1 0 0

=...

2*0,05+4*(-0,15)+2*0,25 2*(-0,35)+4*0,05+2*0,25 2*(-0,275)+4*0,325+2*0,125 0 0 1

в)

0,05 -0,35 -0,275 6 0,05*6-0,35*(-6)-0,275*16 -2

=...

0,25 0,25 0,125 16 0,25*6+0,25*(-6)+0,125*16 2

№3.

Найдем главный определитель системы:

4 -4 1

=...

-3 5 -4

Т.к. определитель не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера:

-31 -4 1, ==>...

=...

41 5 -4

4 -31 1, ==>...

=...

-3 41 -4

4 -4 -31, ==>...

=...

-3 5 41

№4.

а) Проверим совместность системы по теореме Кронекера-Капелли. Для этого преобразуем расширенную матрицу системы с помощью метода Гаусса:

3 5 -1 6 3 5 -1 6 ~ 3 5 -1 6

0 -2 -2 6 ~ 0 -2 -2 6 0 -2 -2 6

-1 -1 1 -4 0 -2 -2 6 0 0 0 0

Видим, что ранг главной матрицы равен двум, ранг расширенной - также двум. Т.к. ранги равны, то по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Система, соответствующая полученной матрице, имеет вид:

…

Выберем в качестве свободной переменную z и перенесем слагаемые с z в правую часть.

…

Решая эту систему, находим:

…

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:

=...

Фундаментальная система решений однородной системы:

=...

Тогда общее решение однородной системы будет иметь вид:

=...

Найдем общее решение неоднородной системы. Полагая z=0, получим: x=7, y=-3. Таким образом, в качестве частного решения неоднородной системы можно взять решение

=...

Тогда общее решение можно представить в виде:

=...

б) Преобразуем расширенную матрицу системы:

7 1 -3 9 7 1 -3 9 ~ 7 1 -3 9

9 -3 -1 -10 ~ 0 30 -20 151 0 30 -20 151

1 -2 1 -5 0 15 -10 44 0 0 0 945

Видим, что ранг главной матрицы равен двум, а ранг расширенной - трем. Т.к. ранги не равны, то по теореме Кронекера-Капелли система несовместна и поэтому не имеет решений.

№5.

а)

=...

…

=...

==>...

б)

…

в)

==>...

={1;3;-4}

…

=...

Тогда

…

г)

…

2 5 0

=...

1 3 -4

д)

==>...

Контрольная работа №2.

№1.

а) Найдем уравнения плоскостей ABC и ABD

x-3 y-5 z-4

=...

5-3 10-5 4-4

=...

5 0 2 0 2 5

21(z-4)=0

z=4 - уравнение плоскости ABC

x-3 y-5 z-4

=...

4-3 7-5 8-4

=...

2 4 1 4 1 2

=...

=...

2x-5y+2z+11=0 - уравнение плоскости ABD

Найдем угол между нормальными векторами плоскостей:

=...

…

=...

==>...

б) Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид

…

Тогда каноническое уравнение прямой CD будет:

…

Запишем параметрическое уравнение прямой CD:

=t, ==>...

в)

В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять нормальный вектор плоскости ABC:...={0;0;1}. Точка D принадлежит плоскости, поэтому уравнение искомой плоскости будет

=...

z=8

г) Составим уравнение высоты по направляющему вектору и точке, принадлежащей прямой

…

где (lx;ly;lz) - координаты направляющего вектора, (x0;y0;z0) - координаты точки.

Нормальный вектор плоскости АВС будет направляющим вектором высоты:

=...

…

№2.

а) Уравнение стороны АВ строим по 2-м точкам, принадлежащим прямой

…

=...

=...

б) Найдем угловой коэффициент стороны BC:

…

Тогда угловой коэффициент высоты будет равен

…

Точка A ? прямой, поэтому:

=...

4y-48=3x-9

3x-4y+39=0 - уравнение искомой высоты

в)

Найдем координаты точки M как координаты середины отрезка AC.

Запишем уравнение медианы BM по 2 точкам:

…

=...

31x+42y-1047=0 - уравнение медианы BM

г)

Т.к. прямые параллельны, то их угловые коэффициенты совпадают. Составим уравнение прямой по угловому коэффициенту и точке, принадлежащей прямой:

=...

=...

4x+3y-48=0 - уравнение искомой прямой

д)

Найдем угол по теореме косинусов:

=...

AB=...

AС=...

BС=...

=...

=...

=...

Сделаем чертеж:

…

№3.

…

Получили уравнение гиперболы. Координаты смещенного центра: O(0;-5). Построим кривую на плоскости:

…

№4.

Пусть x1 - объем приобретаемого товара 1 типа; x2 - объем приобретаемого товара 2 типа; x3 - объем приобретаемого товара 3 типа. Составим математическую модель бюджетного множества

…

В векторном виде:

=...

Граница бюджетного множества:

=...

В векторном виде:

=...

Изобразим бюджетное множество графически.

3x1+8x2+5x3=120 - это уравнение плоскости

Определим координаты точек пересечения этой плоскости с осями координат.

=...

=...

=...

Изобразим бюджетное множество графически:

24

15

40

Определим объем бюджетного множества:

…

№5.

Запишем данные задачи в виде матрицы перевозок.

Базы Потребители Запасы

В1 В2 В3

А1 9 10 16 220

А2 11 13 21 140

Потребности 70 100 190 360

Поверим задачу на правильность баланса:

сумма всех поставок: 220+140=360

сумма всех потребностей: 70+100+190=360, ==> задача с правильным балансом.

Заполним матрицу перевозок методом минимальной стоимости.

Базы Потребители Запасы

В1 В2 В3

А1 70 9 100 10 50 16 220

А2 11 13 140 21 140

Потребности 70 100 190 360

Стоимость перевозок при таком плане: Z=9?70+10?100+16?50+21?140=5370 д.е.

Проверим план на оптимальность методом потенциалов. Для этого найдем потенциалы строк и столбцов. Составим систему уравнений для заполненных клеток.

…

Пусть ?1=0, тогда ?2=5

?1=9

?2=10

?3=16

Проверим на оптимальность пустые клетки:

клетка (2;1): 5+9>11

клетка (2;2): 5+10>13

Выберем для оптимизации клетку (2;1) и перейдем к следующей матрице перевозок

Базы Потребители Запасы

В1 В2 В3

А1 9 100 10 120 16 220

А2 70 11 13 70 21 140

Потребности 70 100 190 360

Проверим план на оптимальность.

…

Пусть ?1=0, тогда ?2=5

?1=6

?2=10

?3=16

Проверим на оптимальность пустые клетки:

клетка (1;1): 0+613

Выберем для оптимизации клетку (2;2) и перейдем к следующей матрице перевозок

Базы Потребители Запасы

В1 В2 В3

А1 9 30 10 190 16 220

А2 70 11 70 13 21 140

Потребности 70 100 190 360

Проверим план на оптимальность.

…

Пусть ?1=0, тогда ?2=3

?1=8

?2=10

?3=16

Проверим на оптимальность пустые клетки:

клетка (1;1): 0+8