Контрольная работа 1, 2, шифр 09

  • ID: 14052 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1

Задача 19. Даны вершин [image] треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнение стороны AB; 3) уравнение высоты CD и ее длину; 4) уравнение окружности, для которой высота CD является диаметром.

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой: [image].

Получим:

[image]

2. Уравнение прямой проходящей через две точки: [image].

Тогда уравнение прямой AB, примет вид:

[image] или [image], тогда получим [image]- уравнение стороны AB.

3. Уравнение высоты СD и ее длину:

Так как [image], то вектор [image] является нормальным вектором c прямой CD. Тогда получаем: [image].

Длину высоты CD определим как расстояние от точки C до прямой AB по формуле:

[image].

4. Так как CD является диаметром окружности, то радиус окружности равен [image].

Центр окружности O является серединой отрезка CD. Найдем координаты точки D, как координаты точки пересечения прямых CD и AB:

[image].

Тогда координаты точки O определим по формуле:

[image].

Окончательно, уравнение окружности примет вид: [image].

Задача 39. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений.

Дано: [image]

Решение:

Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит, система линейных алгебраических уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

[image]

Задача 59. Найти обратную матрицу. Проверить результат, вычислив произведение данной и полученной матрицы.

Дано [image]

Решение:

Найдем [image] и сделаем проверку. Найдем алгебраические дополнения:

[image]

Проверка:

[image]

Задача 79. Написать разложение вектора [image] по векторам [image].

Решение:

Разложим вектор x по векторам p, q, r, то есть представим в виде: [image].

В координатной форме:

[image]

Получим систему алгебраических уравнений и решим ее методом Гаусса:

[image]

Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

Решая систему, получим: [image]

Значит [image].