Контрольная работа 1, 2, шифр 09

  • ID: 14052 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1

Задача 19. Даны вершин... треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнение стороны AB; 3) уравнение высоты CD и ее длину; 4) уравнение окружности, для которой высота CD является диаметром.

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:

2. Уравнение прямой проходящей через две точки:....

Тогда уравнение прямой AB, примет вид:

или..., тогда получим...- уравнение стороны AB.

3. Уравнение высоты СD и ее длину:

Так как..., то вектор... является нормальным вектором c прямой CD. Тогда получаем:....

Длину высоты CD определим как расстояние от точки C до прямой AB по формуле:

4. Так как CD является диаметром окружности, то радиус окружности равен....

Центр окружности O является серединой отрезка CD. Найдем координаты точки D, как координаты точки пересечения прямых CD и AB:

Тогда координаты точки O определим по формуле:

Окончательно, уравнение окружности примет вид:....

Задача 39. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений.

Дано:...

Решение:

Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

2 3 -1 2 2 3 -1 2

1 -1 3 -4 ? 0 5 -7 10 ?

3 5 1 4 0 -1 -5 -2

2 3 -1 2 2 3 -1 2

? 0 5 -7 10 ? 0 5 -7 10

0 -1 -5 -2 0 0 32 0

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит, система линейных алгебраических уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

Задача 59. Найти обратную матрицу. Проверить результат, вычислив произведение данной и полученной матрицы.

Дано...

Решение:

Найдем... и сделаем проверку. Найдем алгебраические дополнения:

4 0 -1

=...

1 -1 2

=...

-1 2 -1 2 3 -2

=...

1 2 1 2 2 -2

=...

1 -1 1 -1 2 3

Проверка:

Задача 79. Написать разложение вектора... по векторам....

Решение:

Разложим вектор x по векторам p, q, r, то есть представим в виде:....

В координатной форме:

Получим систему алгебраических уравнений и решим ее методом Гаусса:

Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

1 -3 1 -9 1 -3 1 -9

4 2 -1 -8 ? 0 -14 5 -28 ?

1 0 2 -3 0 -3 -1 -6

1 -3 1 -9 1 -3 1 -9

? 0 -14 5 -28 ? 0 -14 5 -28

0 -3 -1 -6 0 0 -29 0

Решая систему, получим:...

Значит....

Задача 99. На плоскости даны три точки.... Требуется найти: 1) координаты векторов...; 2) угол между векторами... и...; 3) проекцию... на вектор...; 4) площадь треугольника ABC.

Решение:

1) Вычислим координаты вектора... и...:

Вычислим длину стороны AB и AC:

2) Угол между векторами... и... определим по формуле:

3) Проекция вектора... на... определим по формуле:...

4) Площадь треугольника ABC определим по формуле:....

Контрольная работа 2

Задача 19. Найти производные... данных функций....

Решение:

а)....

б)...

в)...

г)...

Задача 39. Исследовать функцию... методом дифференциального исчисления и построить их графики. При исследовании функции следует найти ее интервалы возрастания и убывания и точки экстремума, интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

1. Область определения функции x?(-?;+?).

2. Четность и нечетность функции.

f(-x)=-(-x)3+18(-x)2-105(-x)+195=-x3+18x2+105x+195??f(x), поэтому функция свойствами четности или нечетности не обладает

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической как многочлен.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения как многочлен.

5. Поведение функции на концах области определения.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

=...

=...

x1=5 x2=7

Составим таблицу для определения знака производной

x (-?;5) 5 (5;7) 7 (7;+ ?)

y' - 0 + 0 -

y убывает минимум

ymin=-5 возрастает максимум

ymax=-1 убывает

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

y"=-6x+36

=...

x=6

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;6) 6 (6;+ ?)

y" + 0 -

y вогнута перегиб

yпер=-3 выпукла

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=195.

С осью OX: полагаем y=0, тогда:....

9. Дополнительные точки.

=...

Построим график функции

Задача 59. Найти наибольшее и наименьшее значение функции... на заданном отрезке....

Решение:

Вычислим производную заданной функции...:

=...

Интервалу [-2;1] удовлетворяет корень x2=-1.

Определим значения функции в критических точках и на границах интервала:

x=-1:...

x=-2:...

x=1:...

Таким образом, на отрезке [-2;1] минимальное значение функции равно -4 в точке x=-2, а максимальное 1 в точке x=-1.

Задача 79. Вычислить неопределенный интеграл.

а)....

б)...

в)...

г)....

д)

Задача 99. С помощью определенного интеграла:

a) площадь фигуры, ограниченной данными линиями..., сделать чертеж и заштриховать данную площадь.

b) Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями...

Решение:

а) Заданы кривые.... Построим определяемую кривыми площадь:

Найдем точки пересечения кривых:...

Вычислим площадь фигуры:

б) Выполним чертеж

Найдем объем:....