Контрольная работа 10: вариант 5

  • ID: 13941 
  • 12 страниц

Фрагмент работы:

К.Р. №10.

№1.

Решить дифференциальное уравнение первого порядка:

[image]

Решение:

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

№2.

Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка:

[image]

Решение:

[image]

[image]

[image]

Это уравнение – однородное. Пусть [image], тогда [image]. Далее получим:

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

№3.

Решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах (сначала проверить, являются ли они таковыми):

[image]

Решение:

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах:

Обозначим

[image]; [image]

тогда

[image]

[image]

Т.к. [image], то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Из соотношения [image] находим:

[image],

где [image] - неизвестная пока функция от .

Продифференцируем это равенство по :

[image].

Т.к. [image], то имеем уравнение для определения неизвестной функции [image]:

[image]

[image]

[image]

Тогда решение данного уравнения будет иметь вид:

[image]

№4.

Найти частное решение линейного уравнения:

[image], [image]

Решение:

Пусть [image], тогда [image]. Подставим эти выражения в исходное уравнение

[image]

[image]

Пусть [image], тогда [image]

[image]

[image]

Тогда:

[image]

Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию [image]:

Имеем уравнение для определения постоянной C:

[image]

[image] - частное решение

№5.

Найти общее решение нелинейного уравнения Бернулли:

[image]

Решение:

[image]

Это уравнение Бернулли. Сделаем замену [image], тогда [image]

Подставим эти выражения в исходное уравнение

[image]