Контрольная работа 10: вариант 5

Фрагмент работы:

К.Р. №10.

№1.

Решить дифференциальное уравнение первого порядка:

…

Решение:

…

№2.

Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка:

…

Решение:

…

Это уравнение - однородное. Пусть..., тогда.... Далее получим:

…

№3.

Решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах (сначала проверить, являются ли они таковыми):

…

Решение:

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах:

Обозначим

;...

тогда

…

Т.к...., то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Из соотношения... находим:

где... - неизвестная пока функция от y.

Продифференцируем это равенство по y:

Т.к...., то имеем уравнение для определения неизвестной функции...:

…

Тогда решение данного уравнения будет иметь вид:

…

№4.

Найти частное решение линейного уравнения:

Решение:

Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение

…

Пусть..., тогда...

…

Тогда:

…

Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию...:

Имеем уравнение для определения постоянной C:

…

- частное решение

№5.

Найти общее решение нелинейного уравнения Бернулли:

…

Решение:

…

Это уравнение Бернулли. Сделаем замену..., тогда...

Подставим эти выражения в исходное уравнение

…

Пусть..., тогда.... Далее получим:

…

Пусть..., тогда...

…

Тогда

…

№6.

Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка путем понижения порядка:

а)...

б)...

Решение:

а) Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение:

…

Пусть..., тогда.... Далее получим:

…

Пусть..., тогда...

…

Тогда

…

б) Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение:

…

Тогда

…

№7.

Найти частное решение линейного однородного уравнения второго порядка (решить задачу Коши):

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

k2-8k+17=0

…

Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:

…

Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям......:

…

Подставим в полученные равенства начальные условия. Получим следующую систему:

- решение, удовлетворяющее начальным условиям.

№8.

Найти частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка (решить задачу Коши):

Решение:

Найдем сначала решение однородного уравнения....

k2-k=0

k(k-1)=0

k1=0 k2=1

Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:

…

Найдем какое-нибудь частное решение исходного уравнения. Будем искать частное решение в виде:

…

Тогда

…

Подставим эти выражения в уравнение:

…

Имеем систему уравнений для определения коэффициентов A и B:

Т.е. частное решение равно:...

Общее решение равно сумме этих двух решений, т.е.:

…

Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям......:

…

Подставим в полученные равенства начальные условия. Получим следующую систему:

- решение, удовлетворяющее начальным условиям.

К.Р. №11.

№1.

С помощью необходимого признака установить, какие ряда расходятся. Исследовать сходимость рядов, применяя теоремы сравнения.

a)...; b)...; c)...; d)...

Решение:

a)...

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

==> ряд расходится

b)...

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

…

Пусть....

Т.к.... и ряд с общим членом cn расходится (гармонический ряд), то по второму признаку сравнения также расходится и исходный ряд.

c)...

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

…

==> ряд расходится

d)...

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

…

Рассмотрим сходящийся ряд....

Т.к....

и ряд с общим членом cn сходится, то по второму признаку сравнения также сходится и исходный ряд.

№2.

Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сходимости.

a)...; b)...; c)...; d)...

Решение:

a)...

Воспользуемся признаком Даламбера:

поэтому по признаку Даламбера ряд сходится.

b)...

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

поэтому по признаку Коши ряд сходится.

c)...

Воспользуемся признаком Даламбера:

…

поэтому по признаку Даламбера ряд сходится.

d)...

Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим положительно определенную функцию... при x?2 и найдем несобственный интеграл...:

…

Т.к. несобственный интеграл от функции f(x) расходится, то также расходится ряд с общим членом un.

№3.

Исследовать сходимость знакочередующихся рядов, применяя признак Лейбница; установить, сходятся ли ряды абсолютно или условно.

a)...; b)...

Решение:

a)...

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Воспользуемся признаком Даламбера:

поэтому по признаку Коши ряд сходится.

Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.

b)...

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд с общим членом.... Т.к.

и гармонический ряд cn расходится, то также расходится и ряд....

Т.к. ряд знакопеременный и..., то ряд сходится по признаку Лейбница. Таким образом, данный ряд сходится условно.

№4.

Найти область сходимости рядов; исследовать сходимость рядов на границе области сходимости.

a)...; b)...

Решение:

a)...

Сделаем замену переменной: y=3x-1. Получим ряд....

Определим радиус сходимости этого ряда:

==> ряд сходится при y?(-1;1). Вернемся к старым переменным:

-1