Контрольная работа 10: вариант 5
- ID: 13941
- 12 страниц
Часть текста скрыта. После покупки Вы получаете полную версию
Фрагмент работы:
Контрольная работа 10: вариант 5
К.Р. №10.
№1.
Решить дифференциальное уравнение первого порядка:
…
РЕШЕНИЕ:
…
№2.
Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
…
РЕШЕНИЕ:
…
Это уравнение - однородное. Пусть..., тогда.... Далее получим:
…
№3.
Решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах (сначала проверить, являются ли они таковыми):
…
РЕШЕНИЕ:
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах:
Обозначим
;...
тогда
…
Т.к...., то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Из соотношения... находим:
где... - неизвестная пока функция от y.
Продифференцируем это равенство по y:
Т.к...., то имеем уравнение для определения неизвестной функции...:
…
Тогда решение данного уравнения будет иметь вид:
…
№4.
Найти частное решение линейного уравнения:
РЕШЕНИЕ:
Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение
…
Пусть..., тогда...
…
Тогда:
…
Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию...:
Имеем уравнение для определения постоянной C:
…
- частное решение
№5.
Найти общее решение нелинейного уравнения Бернулли:
…
РЕШЕНИЕ:
…
Это уравнение Бернулли. Сделаем замену..., тогда...
Подставим эти выражения в исходное уравнение
…
Пусть..., тогда.... Далее получим:
…
Пусть..., тогда...
…
Тогда
…
№6.
Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка путем понижения порядка:
а)...
б)...
РЕШЕНИЕ:
а) Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение:
…
Пусть..., тогда.... Далее получим:
…
Пусть..., тогда...
…
Тогда
…
б) Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение:
…
Тогда
…
№7.
Найти частное решение линейного однородного уравнения второго порядка (решить задачу Коши):
РЕШЕНИЕ:
Составим характеристическое уравнение:
k2-8k+17=0
…
Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:
…
Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям......:
…
Подставим в полученные равенства начальные условия. Получим следующую систему:
- решение, удовлетворяющее начальным условиям.
№8.
Найти частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка (решить задачу Коши):
РЕШЕНИЕ:
Найдем сначала решение однородного уравнения....
k2-k=0
k(k-1)=0
k1=0 k2=1
Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:
…
Найдем какое-нибудь частное решение исходного уравнения. Будем искать частное решение в виде:
…
Тогда
…
Подставим эти выражения в уравнение:
…
Имеем систему уравнений для определения коэффициентов A и B:
Т.е. частное решение равно:...
Общее решение равно сумме этих двух решений, т.е.:
…
Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям......:
…
Подставим в полученные равенства начальные условия. Получим следующую систему:
- решение, удовлетворяющее начальным условиям.
К.Р. №11.
№1.
С помощью необходимого признака установить, какие ряда расходятся. Исследовать сходимость рядов, применяя теоремы сравнения.
a)...; b)...; c)...; d)...
РЕШЕНИЕ:
a)...
Проверим необходимый признак сходимости ряда:
==> ряд расходится
b)...
Проверим необходимый признак сходимости ряда:
…
Пусть....
Т.к.... и ряд с общим членом cn расходится (гармонический ряд), то по второму признаку сравнения также расходится и исходный ряд.
c)...
Проверим необходимый признак сходимости ряда:
…
==> ряд расходится
d)...
Проверим необходимый признак сходимости ряда:
…
Рассмотрим сходящийся ряд....
Т.к....
и ряд с общим членом cn сходится, то по второму признаку сравнения также сходится и исходный ряд.
№2.
Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сходимости.
a)...; b)...; c)...; d)...
РЕШЕНИЕ:
a)...
Воспользуемся признаком Даламбера:
поэтому по признаку Даламбера ряд сходится.
b)...
Воспользуемся радикальным признаком Коши:
поэтому по признаку Коши ряд сходится.
c)...
Воспользуемся признаком Даламбера:
…
поэтому по признаку Даламбера ряд сходится.
d)...
Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим положительно определенную функцию... при x?2 и найдем несобственный интеграл...:
…
Т.к. несобственный интеграл от функции f(x) расходится, то также расходится ряд с общим членом un.
№3.
Исследовать сходимость знакочередующихся рядов, применяя признак Лейбница; установить, сходятся ли ряды абсолютно или условно.
a)...; b)...
РЕШЕНИЕ:
a)...
Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Воспользуемся признаком Даламбера:
поэтому по признаку Коши ряд сходится.
Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.
b)...
Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд с общим членом.... Т.к.
и гармонический ряд cn расходится, то также расходится и ряд....
Т.к. ряд знакопеременный и..., то ряд сходится по признаку Лейбница. Таким образом, данный ряд сходится условно.
№4.
Найти область сходимости рядов; исследовать сходимость рядов на границе области сходимости.
a)...; b)...
РЕШЕНИЕ:
a)...
Сделаем замену переменной: y=3x-1. Получим ряд....
Определим радиус сходимости этого ряда:
==> ряд сходится при y?(-1;1). Вернемся к старым переменным:
-1
Информация о работе | |
---|---|
код работы (ID) | 13941 |
просмотров | 1729 |
кол-во страниц | 12 |
кол-во формул | > 224 |
кол-во файлов | 1 шт. |
оформление по ГОСТу | ДА |
были доработки | НЕТ |
проверено преподавателем Сибстрин | ДА |