Контрольная работа 3, 4: вариант 2

  • ID: 13909 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 3, 4: вариант 2

№ 132. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить

дифференцированием.

а)...

Проверка:

б)

Проверка:...

в)...

Решая систему уравнений, получим:...

г)...

№ 142. Вычислить интеграл или доказать расходимость несобственного интеграла.

интеграл сходится.

№ 152. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды:... и..., причем... и осью Ox....

№ 162. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Сделаем замену.... Тогда уравнение после замены примет вид:.... Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:..., интегрируя обе части равенства, получим:.... Получим:......, или....

Общее решение примет вид:....

№ 172. Найти общее решение...

Преобразуем данное уравнение:.... Замена....

После замены уравнение будет являться линейным относительно переменной... и примет вид:.... Данное уравнение можно представить в виде....

Интегрируя обе части равенства, получим:

Возвращаясь к замене, получим окончательно....

Общее решение примет вид:....

№ 182. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда уравнение примет вид:... или...

Интегрируя обе части равенства, получим:

или....

Получим:..., где..., преобразуем выражение, получим:... или.... Но....

Интегрируя обе части равенства, получим:....

Общее решение примет вид:....

№ 192. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:..., тогда....... Подставляем в исходное уравнение и получим:...

откуда.... Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:....

№ 202. Найти общее решение... системы дифференциальных уравнений.

Дифференцируем первое уравнение и подставляем в первое:..., но..., тогда....

Получим.... Составим характеристическое уравнение

Тогда....

Соответственно...

Общее решение примет вид:...

№ 212. Дано.... Показать, что....

Вычислим:

Тогда:...

верно.

№ 222. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

в области D:...

Построим исследуемую область:

Ищем критические точки внутри области:

Решением системы уравнений являются точки.......

Исследуем поведение на границе:

1. При.........

Точка....... Точка....

2. При.......... Точка... - уже рассмотрена.

3. При......

и....

Получим точки... и....

4. В условных точках:

Сравнивая значения..., получим, что

Наибольшее значение....

Наименьшее значение....

Определим характер критических точек.......

Проверим достаточные условия:

значит в точке... есть экстремум, так как..., то это точка минимума.

значит точка... не является точкой экстремума.

Ответ:....