Контрольная работа 1: задания 3, 19, 24, 31, 43

  • ID: 13853 
  • 8 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1: задания 3, 19, 24, 31, 43

Задача 3. Даны вершины треугольника А (8;2), В (0;8), С (4;10).Сделать чертеж и найти:

1) длину стороны АВ;

2) внутренний угол при вершине А;

3) уравнение высоты CD, проведенной через вершину С;

4) уравнение медианы ВЕ, проведенной через вершину В;

5) точку пересечения высоты CD и медианы ВЕ;

6) длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение: Начнем решение задачи с выполнения чертежа. Построим точки А(-2;2),В(1;6), С(1;1) в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Причём..., а точка Е - середина отрезка АС.

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(8;2) и В(0;8):

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле

Найдем угловые коэффициенты прямых:

Тогда...

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса определяем, что такое значение тангенса соответствует углу...А...18,40.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:

По условию перпендикулярности СD и АВ:...

Ранее (см. п. 2) было найдено:....

Тогда...

Подставим в уравнение... получим

или... - уравнение высоты СD.

4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам В... и Е..., воспользовавшись формулой:....

- уравнение медианы ВЕ.

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

тогда....

В результате получим точку пересечения К..., координаты которой соответствуют точке на чертеже.

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле...

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

где....

Получим..., или...;

- уравнение прямой АВ.

Тогда....

Ответы:

1)..., 2)... 3)... - уравнение высоты СD;

4)... - уравнение медианы ВE; 5) К...; 6)...

Задание 19. Cоставить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки... и до прямой... равно....

Решение:

Решение:

Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую заданным условиям. Тогда кратчайшее расстояние от точки... до прямой... определится:....

Расстояние от точки... до точки...:....

По условию задачи....

Получим:....

Преобразуем:... - это уравнение параболы с центром в точке....

Чертёж:

Задача 24. Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.

Решение:

В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.

а)....

Здесь применима теорема о пределе частного.

б)....

Пределы числителя и знаменателя дроби равны.... В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида "бесконечность на бесконечность". Теорема о пределе частного здесь не применима.

Чтобы раскрыть неопределенность вида... при..., каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.

(по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).

в)....

При подстановке... в знаменатель и числитель дроби убеждаемся, что значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. Неопределенность вида... при... может быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида (х-х0), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на (х-1). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби

г)...

д)....

Здесь применима теорема о первом замечательном пределе....

е)....

Задача 31. Найти производные данных функций и их дифференциалы

Решение:

а)...

Приведем функцию y к виду, удобному для дифференцирования, используя правила действия со степенями

По правилу дифференцирования суммы и разности функции:

Тогда дифференциал функции y:....

б)...

Тогда дифференциал функции y:....

в)...

Тогда дифференциал функции y:....

г)...

Тогда дифференциал функции y:....

Задача 43. Исследовать функцию y = f (x) средствами дифференциального исчисления и построить ее график

1. Область определения функции.

x?(-?;+?)

2. Четность и нечетность функции.

f(-x)=(-x)3+6(-x)2+9(-x)+4=-x3+6x2-9x+4??f(x), поэтому функция свойствами четности или нечетности не обладает

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической как многочлен.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения как многочлен.

5. Поведение функции на концах области определения.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

=...

=...

x2+4x+3=0

=...

Составим таблицу для определения знака производной

x (-?;-3) -3 (-3;-1) -1 (-1;+ ?)

y' + 0 - 0 +

y возрастает максимум

ymax=4 убывает минимум

ymin=0 возрастает

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

y"=6x+12

=...

x=2

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;-2) -2 (-2;+ ?)

y" - 0 +

y выпукла перегиб

yпер=2 вогнута

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=4.

С осью OX: полагаем y=0, тогда.

Точки пересечения с осью Ох: x1=-4, x2=-1

9. Дополнительные точки.

=...

Построим график функции