Вариант 9: Задания с 1 по 12

  • ID: 13830 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 9: Задания с 1 по 12

Вариант 9

Задание 1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции... в замкнутой области D, заданной системой неравенств.... Сделать чертеж.

Решение:

Выполним чертеж заданной области:

Ищем критические точки внутри области:

Решением системы уравнений являются точки....

Исследуем поведение на границе:

1. При.........

Точка... - уже рассмотрена.

2. При......

и....

Получим точки... и....

4. В условных точках:

Сравнивая значения..., получим, что

Наибольшее значение....

Наименьшее значение....

Ответ:....

Задание 2. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число... в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения....

Решение:

1. Преобразуем число....

Алгебраическая форма записи числа a:....

Модуль a:...

Тригонометрическая форма:...

Показательная форма:...

2) найдем z3 по формуле:...

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

=...

В нашем случае:...

при...

при...

при...

Задание 3. Вычислить интегралы.

а)...

б)...

в)

Решая систему уравнений, получим:...

Задание 4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Решение:

функция... имеет бесконечный разрыв в точке..., которая принадлежит промежутку....

Итак....

Интеграл равен бесконечности, значит несобственный интеграл расходится.

Задание 5. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми.... Сделать чертеж области.

Решение:

Выполним чертеж:

Найдем точки пересечения гиперболы и прямой, решив систему уравнений:

Решим полученное квадратное уравнение:...

Найдем соответствующие ординаты... из уравнения....... Итак, точки пересечения параболы и прямой есть точки....

Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную гиперболой и прямыми. Здесь функции......... ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху.

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой

Ответ: Искомая площадь равна:...

Задание 6. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Решение:

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:...

Общее решение примет вид:....

Задание 7. Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка

Решение:

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:... - уравнение линейно относительно переменной z.

Интегрируя обе части равенства, получим:

Тогда:...

Общее решение примет вид:....

Задание 8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Решение:

Найдем общее решение... при начальных условиях.......

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

- корень кратности два. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:....

Подставляем и получим:....

Получим систему:

Тогда.... Общее решение:... и....

Используя начальные данные, определим коэффициенты... и....

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:....

Задание 9. Исследовать на сходимость числовой ряд.

Решение:

Исследуем ряд....

Используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

Так как...- данный ряд сходится.

Задание 10. Найти область сходимости степенного ряда.......

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Найдем предел общего члена:

То есть ряд расходится.

При...:....

Найдем предел общего члена:

То есть ряд расходится.

Ответ: Ряд сходится при....

Задание 11. Вычислить... с точностью до 0,001.

Решение:

Вычислить приближенно определённый интеграл, используя разложение в степенной ряд.

Воспользуемся разложением:...

Тогда:...

Вычислим определенный интеграл:

Ответ:....

Задание 12. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид: