Вариант 9: Задания с 1 по 12

  • ID: 13830 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 9

Задание 1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции [image] в замкнутой области D, заданной системой неравенств [image]. Сделать чертеж.

Решение:

Выполним чертеж заданной области:

[image]

Ищем критические точки внутри области:

[image]

Решением системы уравнений являются точки [image].

[image]

Исследуем поведение на границе:

1. При [image], [image], [image]

Точка [image] - уже рассмотрена.

2. При [image], [image],

[image], [image] и [image].

Получим точки [image] и [image].

[image]

[image]

4. В условных точках:

[image], [image], [image].

Сравнивая значения [image], получим, что

Наибольшее значение [image].

Наименьшее значение [image].

Ответ: [image].

Задание 2. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число [image] в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения [image].

Решение:

1. Преобразуем число [image].

Алгебраическая форма записи числа a: [image].

Модуль a: [image]

[image]

Тригонометрическая форма: [image]

Показательная форма: [image]

2) найдем z3 по формуле: [image]

[image]

[image]Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

[image], k=0,1,…,n-1

В нашем случае: [image]

[image] [image]

[image] при [image]

[image] при [image]

[image] при [image]

Задание 3. Вычислить интегралы.

а) [image]

б) [image]

в)

[image]

Решая систему уравнений, получим: [image]

[image]

[image]

Задание 4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Решение:

[image], функция [image] имеет бесконечный разрыв в точке [image], которая принадлежит промежутку [image].

Итак, [image].

Интеграл равен бесконечности, значит несобственный интеграл расходится.