Контрольная работа 5, 6: вариант 5

  • ID: 13800 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Контрольная работа 5, 6: вариант 5

№ 325. Найти общее решение...

Данное уравнение является однородным. Замена... или....

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

или....... Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, то есть:..., интегрируя обе части равенства, получим:.... В итоге получим:.......

Тогда возвращаясь к старым переменным, получим окончательно:....

Общее решение примет вид:...

№ 335. Найти общее решение... (1)

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда уравнение примет вид:... - уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, то есть:.... Интегрируя обе части равенства, получим:....

где.... Преобразуя, получим уравнение:....

Возвращаясь к старой замене, получим:.... Окончательно имеем:....

Интегрируя обе части равенства, получим:....

Общее решение примет вид:....

№ 345. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:..........

Подставляем и получим:..., откуда.... Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:....

№ 425. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд....

Решение:

Исследуем на сходимость ряд....

Применим необходимый признак сходимости ряда:... - выполняется.

Тогда применим признак Даламбера:

Интеграл сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. Значит, интеграл сходится условно тем более.

№ 435. Найти область сходимости....

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае.... Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Так как... - ряд расходится.

При...:... - данный ряд так же расходится.

Ответ: Ряд сходится при...

№ 445. Вычислить... с точностью до 0,001.

Решение:

Используем разложение:

Получим:...

Ответ:....

№ 455. При начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

№ 465. Разложить в ряд Фурье функцию... в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

Вычислим:

Ответ:....