Контрольная работа 5, 6: вариант 5

  • ID: 13800 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

№ 325. Найти общее решение [image]

Данное уравнение является однородным. Замена [image] или [image].

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

[image] или [image], [image]. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, то есть: [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image]. В итоге получим: [image], [image].

Тогда возвращаясь к старым переменным, получим окончательно: [image].

Общее решение примет вид: [image]

№ 335. Найти общее решение [image] (1)

Уравнение не содержит явно [image], поэтому сделаем замену [image], [image], тогда уравнение примет вид: [image] - уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, то есть: [image]. Интегрируя обе части равенства, получим: [image].

[image], где [image]. Преобразуя, получим уравнение: [image].

Возвращаясь к старой замене, получим: [image]. Окончательно имеем: [image].

Интегрируя обе части равенства, получим: [image].

Общее решение примет вид: [image].

№ 345. Найти общее решение [image] при начальных условиях

[image].

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image]. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image].

Подставляем и получим: [image], откуда [image]. Тогда [image].

Общее решение: [image] и [image].

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям [image]:

[image], [image], [image]

Находим, что [image], [image].

Окончательно, получим: [image].

№ 425. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд [image].

Решение:

Исследуем на сходимость ряд [image].

Применим необходимый признак сходимости ряда: [image] - выполняется.

Тогда применим признак Даламбера:

[image].

Интеграл сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. Значит, интеграл сходится условно тем более.

№ 435. Найти область сходимости [image].

Решение: