Контрольная работа 1: 2 задачи 1, 15, 29, 38

  • ID: 13714 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1: 2 задачи 1, 15, 29, 38

Задача 9. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

а)...

Проверка:

Получена подынтегральная функция, что и требовалось показать.

б)...

Проверка:

Получена подынтегральная функция, что и требовалось показать.

в)....

Проверка:

Получена подынтегральная функция, что и требовалось показать.

Задача 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями... и... Сделать чертеж.

Решение: Выполним чертеж кривых y=-x2+6x-5 и y=-x+1

Построим графики функций

y=-x2+6x-5 - парабола.

Вершина параболы...

=...

y=-x+1 - прямая

Найдем пределы интегрирования

=...

-x2+7x-6=0

x1=1 x2=6

Вычислим площадь фигуры

Задача 29. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию..., если

Решение:...

Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в дифференциальное уравнение:

Сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель u:

Подберем функцию v так, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в скобках:

Тогда уравнение примет вид

Два последних уравнения решаются разделением переменных, поочередно.

1....;...; 2. Подставим... в

уравнение....

Поскольку y = uv, то... - общее решение уравнения.

Для нахождения частного решения обратимся к начальному условию:... при.... Подставим эти значения в общее решение дифференциального уравнения:

Так как..., то....

Подставляя найденное значение С = -4 в общее решение уравнения, находим частное решение:

Ответ:...- общее решение уравнения;

2х- частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(0) = -4.

Задача 38. Исследовать на экстремум функцию... в области ее определения.

Решение:

1. Находим область определения данной функции.... Так как в данной задаче... и... могут принимать любые значения, то областью определения функции... является множество всех пар чисел... или, что, то же самое, все точки координатной плоскости....

2. Найдем частные производные данной функции:

Обе частные производные существуют во всех точках области определения.

3. Найдем точки, где эти производные равны нулю

Таким образом, в области определения имеется лишь одна критическая точка:...

4. Найдем вторые производные функции....

5. Проверим выполнение достаточных условий экстремума.

Вычислим значения вторых производных в найденной критической точке... и значение величины...:

Следовательно, экстремум в точке... нет экстремума.