Контрольная работа 4. Вариант 4

Фрагмент работы:

Контрольная работа 4. Вариант 4

К.Р. №4

I.

1)...

Проверка:

…

2)...

Проверка:

…

3)...

…

Проверка:

…

II.

…

III.

…

Таким образом, интеграл расходится.

IV. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж области.

Построим линии и определим границы фигуры:

==>...

==>...

…

Найдем пределы интегрирования:

…

=...

Определим площадь фигуры с помощью определенного интеграла по формуле:

…

V. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой L.

Сделаем чертеж

…

Определим пределы интегрирования:

==>...

Объем тела вращения вычисляется по формуле:

…

Контрольная работа №5

I. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертеж.

Построим область интегрирования:...

…

Найдем пределы интегрирования.

При y=-1 получим: x=8?(-1)3=-8; y=2?(-1)-6=-8

При y=0 получим: x=8?03=0; y=2?0-6=-6

…

Тогда

…

II.(а). Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать схематический чертеж.

Решение:

Заданы поверхности:...

Построим тело и определим его проекцию на плоскость XOY:

…

Определим пределы интегрирования:

-1?x?1...?y?... 0?z?...

Тогда объем тела будет равен:

…

II.(б).

Найти массу однородного тела (плотность распределения равна 1), ограниченного поверхностями....

Решение:

Построим тело и определим его проекцию на плоскость XOY:

…

Определим пределы интегрирования:

0?x?4 x?y?4 0?z?y-x

Тогда объем тела будет равен:

III. Требуется: 1) найти поток векторного поля... через замкнутую поверхность... (выбирается внешняя нормаль к...); 2) вычислить циркуляцию векторного поля... по контуру Г, образованного пересечением поверхностей... и... (направление обхода должно быть выбрано так, чтобы область, ограниченная контуром Г, находилась слева); 3) проверить правильность вычисленных значений потока и циркуляции с помощью формулы Остроградского и Стокса; 4) дать заключение о наличии источников или стоков внутри области, ограниченной поверхностью...; 5) сделать схематический чертеж поверхности....

Решение:...

Выполнил схематический чертеж поверхности...:

…

1) Поток векторного поля... через замкнутую поверхность... вычислим по определению, как поверхностный интеграл:..., где... - вектор нормали к заданной поверхности...- проекция вектора нормали к заданной части поверхности.

Тогда:

где

- проекция поверхности на плоскость XZ... - проекция поверхности на плоскость XZ.

Заметим, что так как вектор нормали... для поверхности... составляет острый угол, а... для... тупой угол, то в итоге получим:

то есть поток векторного поля... через данную поверхность равен нулю.

Аналогично рассмотрим проекцию... и... на плоскость YZ, поток через которую также будет равен 0.

Вычислим последний интеграл:

2) Вычислим циркуляцию векторного поля... по контуру Г, образованного пересечением поверхностей... и.... По условию задана часть конической поверхности, ограниченная плоскостью..., то есть....

Тогда:

…

где... - обход части конуса... - обход части конуса в противоположном направлении... - обход окружности радиуса....

Получим:

и... - так как обход осуществляется по двум симметричным участкам конусной поверхности в противоположных направлениях.

Окончательно, получим:

так как длинна контура обхода равна длине круга радиуса....

3) Введем обозначение:....

По теореме Гаусса - Остроградского поток векторного поля через замкнутую поверхность равен:

Поток векторного поля через замкнутую поверхность....

Формула Стокса:..........

Циркуляция векторного потока....

Контрольная работа №7

II. Найти общее решение дифференциального... уравнения и частное решение удовлетворяющее начальному условию... при...

Решение:

Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение

…

Пусть..., тогда....

Получим:...

…

Тогда...

Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию:...

Имеем уравнение для определения постоянной C:

…

- частное решение.

III. Найти общее решение дифференциального... уравнения и частное решение удовлетворяющее начальному условию... при...

Решение:

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:... - уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где....

Так как..., получим, что...

Общее решение примет вид:....

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Имеем систему для определения постоянных C1, C2:

…

IV. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

…

Решение:

Составляем характеристическое уравнение системы:

…

=...

k2+k-2=0

Таким образом....

Найдем собственные векторы, соответствующие каждому из корней характеристического уравнения

k1=1

==>...

Пусть ?2=1, тогда ?1=4. Таким образом, (4;1) - первый собственный вектор.

k2=-2

==>...

Пусть ?2=1, тогда ?1=1. Таким образом, (1;1) - второй собственный вектор.

Тогда общее решение системы дифференциальных. уравнений запишется в виде:

…

V. Решить уравнение колебания струны методом Фурье.

Решение:

Общее уравнение колебания струны имеет вид:....

Струна закреплена на концах:..., в нашем случае....

В начальный момент времени форма струны описывается уравнением:

где....

- условие закрепления струны.

Используя метод Эйлера, запишем общее решение уравнения:

где.......

Подставляя, получим:....

Вычислим последовательно каждый из коэффициентов:

…

Тогда:....

Тогда:...

Вычислим:......

…

Окончательно, получим:

…