Контрольная работа 1, 2, 3 - вариант 4. Даны координаты вершин треугольника. Сделайте чертеж и найдите

  • ID: 13529 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №1

Раздел 3. Аналитическая геометрия.

Задача 3. Даны координаты вершин треугольника [image], [image], [image]. Сделайте чертеж и найдите:

1. длины сторон AB и AC и угол между ними.

2. площадь треугольника ABC.

3. уравнение высоты CD, опущенной из вершины C на сторону AB.

4. уравнение медианы BM, проведенной из вершины B на сторону AC.

5. координаты точки P, симметричной точке С относительно стороны AB.

Решение: выполним чертеж. Построим точки[image], [image], [image] в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС.

1. Длину стороны АВ и AC находим как расстояние между двумя точками [image] и [image], [image] и [image]:

[image]

[image]

Угол определим по формуле, причем [image], [image].

Тогда: [image], [image].

2. Для вычисления площади треугольника [image] потребуются вектора [image] и [image].

Вычислим векторное произведение этих векторов: [image].

[image].

Тогда площади грани [image] равна: [image].

3. Уравнение высоты [image] запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку [image]: [image].

Найдем уравнение прямой [image]: [image]. Коэффициент наклона прямой [image] равен [image]. Из условия перпендикулярности прямых [image] и [image]: [image]. Подставим в уравнение [image] и получим:

[image]

[image] – уравнение высоты СD.

4. Медиана [image] соединяет вершину В с точкой M, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки M:

[image], [image]

Составим уравнение медианы [image] по двум точкам [image] и [image]. Воспользуемся формулой: [image].

[image] – уравнение медианы [image].

5. Так как точка P симметрична точке C относительно прямой AB, то точка D является серединой прямой CP.

Определим координаты точки D как точку пересечения стороны AB и высоты CD:

[image]

Тогда справедливо равенство для координат точек P, D, C:

[image]

Задача 4. Даны координаты вершин треугольной пирамиды [image]. Найти:

1) уравнение граней [image] и [image]

2) угол между гранями [image] и [image]