Контрольная работа 1, 2, 3 - вариант 4. Даны координаты вершин треугольника. Сделайте чертеж и найдите

  • ID: 13529 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №1

Раздел 3. Аналитическая геометрия.

Задача 3. Даны координаты вершин треугольника.......... Сделайте чертеж и найдите:

1. длины сторон AB и AC и угол между ними.

2. площадь треугольника ABC.

3. уравнение высоты CD, опущенной из вершины C на сторону AB.

4. уравнение медианы BM, проведенной из вершины B на сторону AC.

5. координаты точки P, симметричной точке С относительно стороны AB.

Решение: выполним чертеж. Построим точки......... в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС.

1. Длину стороны АВ и AC находим как расстояние между двумя точками... и...... и...:

Угол определим по формуле, причем.......

Тогда:.......

2. Для вычисления площади треугольника... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

3. Уравнение высоты... запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку...:....

Найдем уравнение прямой...:.... Коэффициент наклона прямой... равен.... Из условия перпендикулярности прямых... и...:.... Подставим в уравнение... и получим:

- уравнение высоты СD.

4. Медиана... соединяет вершину В с точкой M, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки M:

Составим уравнение медианы... по двум точкам... и.... Воспользуемся формулой:....

- уравнение медианы....

5. Так как точка P симметрична точке C относительно прямой AB, то точка D является серединой прямой CP.

Определим координаты точки D как точку пересечения стороны AB и высоты CD:

Тогда справедливо равенство для координат точек P, D, C:

Задача 4. Даны координаты вершин треугольной пирамиды.... Найти:

1) уравнение граней... и...

2) угол между гранями... и...

3) уравнение ребра...

4) угол между ребром... и гранью...

5) уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань....

Решение:

1. Определим уравнение грани... по формуле:....

Преобразуем и получим:... или уравнение грани... примет вид:.... Грани... соответствует вектор нормали... и длина вектора нормали соответственно....

Определим аналогично уравнение грани... по формуле:....

Преобразуем и получим:... или уравнение грани... примет вид:.... Грани... соответствует вектор нормали... и длина вектора нормали соответственно....

2. Угол между гранями... и... определим как угол между его векторами нормали по формуле:.... Окончательно, имеем:....

3. Уравнение ребра... определим по формуле:...

4. Для определения угла между ребром... и гранью..., воспользуемся формулой:..., где..., а.... Подставляя значения, получим:.......

5. Уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань...:

А4

h А2

А1

А3

Задача 5. Составить уравнение и построить линию, расстояния от каждой точки которой до точки... и до прямой... относятся, как....

Решение:

Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую заданным условиям. Тогда расстояние от точки... до точки...:.... Расстояние от точки... до прямой...:....

По условию задачи....

Получим:....

Получим:... - это уравнение эллипса с центром в точке... и полуосями....

Чертёж:

Контрольная работа №2

Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Задача 1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

Решение:

1....

2.....

3....

4....

Задача 2. Задана функция и два значение аргумента.

1. Установить непрерывность или разрыв в данных точках.

2. В случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа.

3. Выполнить схематический чертеж.

Решение:

1)... непрерывна в... и имеет разрыв в....

2)... - предел слева

- предел справа

В точке...... имеет разрыв 2-го рода, т.к. один из пределов равен бесконечности.

3)....

Горизонтальная асимптота....

4) Строим график:

Задание 3. Для функции..., вычислить производную....

Решение:

а)...

б)...

в)...

Продифференцируем обе части равенства:...

Получим выражение для производной...:....

г)....

Вычислим предварительно:

Тогда:

Задание 4.. Исследовать с помощью дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

1. Область определения функции.

Так как..., то....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четной и нечетной функции.

3. Асимптоты.

а) Функция непрерывна на всей действительной оси, кроме точки.... Исследуем характер точек разрыва функции:

Таким образом, точке...- разрыв 2-го рода и прямая... - вертикальная асимптота.

б) Горизонтальные асимптоты:

Значит... - горизонтальная асимптота.

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонная асимптота отсутствует.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: отсутствуют

С осью OX: полагаем y=0, тогда....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при...... - критические точки.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;0) 0 (0;1) 1 (1;...)

+ не сущ. - 0 +

y возрастает Разрыв

2-го рода убывает min

ymin=0 возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

:... - точки перегиба....

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;0) 0 (0,1,5) 1,5 (1,5;+?)

+ нет + 0 -

y вогнута Разрыв

2-го рода вогнута... выпукла

Построим график функции:

Контрольная работа № 3

Раздел 5. Функции двух переменных.

Задача 1. Дано.... Найти частные производные..........

Вычислим:

Задача 2. Дана функция... и точка....

Найти: а) градиент данной функции в точке M;

б) производную данной функции в точке A по направлению вектора....

Решение:

а) Найдем частные производные используя формулу:

Вычислим значения... в точке...:

Вектор-градиент равен:...

б) Найдем направляющие косинусы вектора...:

;....

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

Ответ:...;....

Задача 3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности... в данной точке....

Решение:

Рассмотрим функцию.... Тогда вычислим градиент функции F:....

Уравнение касательной плоскости в точке M имеет вид:..., где вектор....

Получим:... - уравнение касательной плоскости.

Уравнение нормальной плоскости в точке M имеет вид:...

Задача 4. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

в области D:...

Построим исследуемую область:

Ищем критические точки внутри области:

Решением системы уравнений является точка....

Исследуем поведение на границе:

1. При.........

Точка......

2. При..........

Точка рассмотрена......

3. При......

Получим точки....

4. В условных точках:

Сравнивая значения..., получим, что

Наибольшее значение....

Наименьшее значение...