Вариант 4. Найдем определитель, составленный из координат векторов

  • ID: 13509 
  • 19 страниц

Фрагмент работы:

К.Р. №1

№1.

Найдем определитель, составленный из координат векторов...... и...:

1 3 5

=...

5 7 9

Т.к. определитель не равен 0, то векторы образуют базис. Найдем координаты вектора... в этом базисе. Для этого нужно найти решение системы уравнений:

Решим ее методом Крамера:

0 0 5, ==>...

=...

16 0 9

1 0 5, ==>...

=...

5 16 9

1 0 0, ==>...

=...

5 0 16

Таким образом, вектор... в базисе......... имеет координаты:...(5;-2;1).

№2.

а) решим эту систему по формулам Крамера

Найдем главный определитель системы

-2 5 -6

=...

4 2 -1

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его по правилу Крамера

-8 5 -6

=...

-12 2 -1

-2 -8 -6

=...

4 -12 -1

-2 5 -8

=...

4 2 -12

б) решим эту систему матричным методом. Запишем систему в матричной форме:

A?X=B, где

В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем алгебраические дополнения и составим обратную матрицу:

=...

2 -1 2 -1 7 -5

=...

4 -1 4 -1 1 -5

=...

4 2 4 2 1 7

в) решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (прямой ход):

-2 5 -6 -8 ~ -2 5 -6 -8 ~ -2 5 -6 -8

1 7 -5 -9 0 19 -16 -26 0 19 -16 -26

4 2 -1 -12 0 24 -26 -56 0 0 110 440

Обратный ход:

№3.

1)

=...

2)

=...

==>...

3)

4)

5 2 0

=...

1 2 4

5) Найдем уравнение прямой по 2-м точкам:

6) Уравнение плоскости по трем точкам можно найти следующим образом:

x-x1 y-y1 z-z1

=...

x3-x1 y3-y1 z3-z1

x-2 y-4 z-3

=...

4-2 9-4 3-3

x-2 y-4 z-3

5 2 0 =0

2 5 0

=...

5 0 2 0 2 5

=...

z-3=0

z=3 - уравнение искомой плоскости

7) Уравнение прямой в пространстве имеет

где (lx;ly;lz) - координаты направляющего вектора, (x0;y0;z0) - координаты точки, принадлежащей прямой.

Нормальный вектор плоскости АВС будет направляющим вектором высоты:

=...

№4.

=...

=...

=...

Получилось уравнение эллипса с центром в точке (2;1) и полуосями 4 и 2.

№5.

1)

Составим таблицу для построения:

i ? ?

0 0 0,00

1 ?/8 2,10

2 ?/4 2,43

3 3?/8 3,18

4 ?/2 5,00

5 5?/8 11,74

6 3?/4 -82,43

7 7?/8 -12,96

8 ? -10,00

9 9?/8 -12,96

10 5?/4 -82,43

11 11?/8 11,74

12 3?/2 5,00

13 13?/8 3,18

14 7?/4 2,43

15 15?/8 2,10

16 2? 2,00

Построим график линии:

2) Найдем уравнение линии в декартовой системе координат, воспользовавшись формулами:

Подставим эти формулы в уравнение линии:

=...

=...

=...

3) получилось уравнение гиперболы с центром в точке О(6;0) и полуосями 4 и....

№6.

Построим уравнения граничных прямых в одной системе координат.

I. x1+2x2=8

x1 0 8

x2 4 0

II. x1-2x2=0

x1 0 2

x2 0 1

III. 3x1+2x2=32

x1 0 3

x2 1 0

На основе знаков неравенств определяем, что множеством решений системы будет четырехугольник ABCD.

№7.

а)

б)

Разложим числитель и знаменатель на множители

Тогда

в)

г)

№8.

Функция определена на всей числовой оси, но для разных интервалов функция задана различными уравнениями. В каждом из промежутков функция является непрерывной, поэтому разрывы могут быть только на границах промежутков.

x1=0

Т.к. односторонние пределы конечны и равны между собой, то в точке x1=0 функция непрерывна.

x2=2

Т.к. один из односторонних пределов равен бесконечности, то точка x2=2 - точка разрыва II рода.

Сделаем схематический чертеж

№9.

1)...

2)...

3)

4)

№10.

=...

Интервалу [-3;1] удовлетворяет только корень x=0.

Определим значения функции в критических точках и на границах интервала:

=...

=...

=...

Таким образом, на отрезке [-3;1] минимальное значение функции равно 2, а максимальное 677.

№11.

Уравнение касательной к графику функции имеет вид:

Тогда уравнение касательной будет иметь вид:

Составим уравнение нормали:

Т.к...., то уравнение нормали будет иметь вид.... Для определения постоянной C подставим в уравнение...:

==>...

Уравнение нормали:....

№12.

Решение:

1. Область определения функции.

1-4x2?0

x2?...

x??...

x?(-?;-...)?(-...;...)?(...;+?)

2. Асимптоты.

а) вертикальные

x=-...

x=...

б) горизонтальные

y=1 горизонтальная асимптота

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонных асимптот нет

3. Четность и нечетность функции.

==> функция является четной, и ее график симметричен относительно оси OY.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=2.

С осью OX: полагаем y=0, тогда

2-4x2=0

4x2=2.

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при x=0

=...

x=?...

x (-?;-...) -... (-...;0) 0 (0;...)... (...;+?)

- ? - 0 + ? +

y убывает ? убывает min

ymin=2 возрастает ? возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

=...

x=?

=...

x=?...

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;-...) -... (-...;...)... (...;+?)

- ? + ? -

y выпукла ? вогнута ? выпукла

Построим график функции

К.Р. №3.

№1.

;...

Построим область:

Найдем частные производные функции:

M(......)

Точка М не принадлежит области D.

Исследуем поведение функции на границе области.

1.... =...

Получаем функцию: z=x2+x+4

=...

=...

=...

2.... =...

Получаем функцию: z=3y2-y+2

z'=6y-1

=...

=...

=...

3.... =...

Получаем функцию: z=x2+3?(1-x)2+x-1+x=x2+3?(x2-2x+1)+2x-1=4x2-4x+2

=...

=...

=...

Таким образом, минимальное значение функции zmin=2, а максимальное zmax=10.

№2.

1)

алгебраическая форма:

тригонометрическая форма:

2) z3+a=0

z3=-a

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

=...

2...

№3.

а)...

б)...

в)...

№4.

т.е. интеграл сходится

№5.

Построим линии и определим границы фигуры:

y=3x2+1 - парабола, вершина параболы......

y-3x-7=0, ==> y=3x+7 - прямая

Найдем пределы интегрирования:

3x2+1=3x+7

3x2-3x-6=0

x2-x-2=0

=...

Определим площадь фигуры с помощью определенного интеграла по формуле:

К.Р. №4.

№1.

Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение:

№2.

Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение:

Пусть..., тогда...:

Пусть..., тогда...

№3.

Найдем сначала общее решение однородного уравнения: y"+y'+y=0

Составим характеристическое уравнение:

k2+k+1=0

Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:

Найдем какое-нибудь частное решение исходного уравнения. Будем искать частное решение в виде:

Тогда

Подставим эти выражения в уравнение:

Имеем систему уравнений для определения коэффициентов A, B и C:

Т.е. частное решение равно:...

Общее решение равно сумме этих двух решений, т.е.:

Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=2, y'(0)=3:

Подставим в полученные равенства начальные условия. Получим следующую систему:

- решение, удовлетворяющее начальным условиям.

№4.

Воспользуемся признаком Коши:

Т.к. получившийся предел меньше единицы, то по признаку Коши ряд сходится.

№5.

Сделаем замену переменной: y=x+1, тогда ряд примет вид:

Определим радиус сходимости ряда:

Т.е. y?(-4;4). Перейдем к старым переменным

-4