Контрольная работа 1: вариант 6

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1

Задача 16. Даны координаты вершин пирамиды.... Найти:

1) модули векторов...;

2) угол между векторами... и...;

3) угол между ребром... и гранью...;

4) площадь грани...;

5) объем пирамиды...;

6) уравнение прямой...;

7) уравнение плоскости...;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань....

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:...

2.......

Тогда:...

3. Для определения угла между ребром... и гранью..., определим уравнение грани... по формуле:.... Преобразуя, получим....

или уравнение грани... примет вид:....

Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:.......

4. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

5. объем пирамиды... вычислим по формуле:....

В итоге получим:....

6. Используя формулу, определим уравнение прямой...:

Подставляя данные, получим:....

7. Уравнение плоскости... уже было найдено в пункте 3 и имеет вид:

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань...:

А4

h А2

А1

А3

Рис. 1.

Задача 36. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки... вдвое меньше расстояния от точки....

Решение:

Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую заданным условиям. По условию задачи должно выполняться условие.... Тогда расстояние от точки... до точки...:.... Расстояние от точки... до точки...:.... По условию задачи.... Получим:....

Это уравнение прямой... параллельной оси Оу.

Чертёж:

…

Задача 56. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить двумя способами: методом Гаусса и средствами матричного исчисления

Дано:...

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме... и решим ее методом Гаусса и с помощью обратной матрицы....

где..........

1). Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

3 4 2 8 3 4 2 8

2 -1 -3 -4 ? 0 11 13 28 ?

1 5 1 0 0 -11 -1 8

3 4 2 8 3 4 2 8

? 0 11 13 28 ? 0 11 13 28

0 -11 -1 8 0 0 -132 -396

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит, система линейных алгебраических уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

2) решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

3 4 2

=...

1 5 1

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его с помощью обратной матрицы. Найдем алгебраические дополнения:

=...

5 1 5 1 -1 -3

=...

1 1 1 1 2 -3

=...

1 5 1 5 2 -1

…

Ответ:....

Контрольная работа 2

Задача 116. Вычислить пределы функций.

Решение:

a)...

б)...

…

в)...

г)...

Задача 126. Задана функция и два значение аргумента.

1. Установить непрерывность или разрыв в данных точках.

2. В случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа.

3. Выполнить схематический чертеж.

Решение:

1)... непрерывна в... и имеет разрыв в...

2)... - предел слева

- предел справа

В точке...... имеет разрыв 2-го рода, т.к. один из пределов равен бесконечности.

3)...

4) Строим график:

…

Задача 146. Для функции..., вычислить производную....

Решение:

а)....

б)...

в)...

г)...

д)...

Продифференцируем обе части равенства:...

Получим выражение для производной...:....

Преобразуем:....

156. Найти... и...

1)...

…

2)...

Вычислим предварительно:

Тогда:

…

Задача 176. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.......

Решение:

x (-2;-1) -1 (-1;2)

- 0 +

y убывает -3 возрастает

В точке... минимум.

Значение функции на концах:......

Наибольшее значение функции:...

Наименьшее значение функции:...

Задача 196. Исследовать с помощью дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

…

1. Область определения функции.

Так как..., то....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четности и нечетности.

3. Асимптоты.

Функция не определена в точке.... Исследуем характер разрыва:

…

Таким образом, точке...- разрыв 2-го рода.

а) Горизонтальные асимптоты:

…

в) наклонные

y=k?x+b

…

Наклонная асимптота отсутствует.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: точек пересечения нет

С осью OX: полагаем y=0, тогда....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

…

при.........: получим x = 0 и...- критические точки.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;0) 0 (0;...)... (...; +?)

- Не существует - 0 +

y убывает Разрыв

2-го рода убывает min

ymin=8,27 возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

…

:... - точки перегиба....

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;...)... (...;0) 0 (1;+?)

- 0 + 0 +

y выпукла 0 вогнута Не сущ. вогнута

Построим график функции:

…