Вариант 9. Даны четыре вектора в некотором базисе. Показать, что векторы, образуют базис, и найти координаты вектора

  • ID: 13366 
  • 12 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №1

Задача 1. Даны четыре вектора:... в некотором базисе. Показать, что векторы......... образуют базис, и найти координаты вектора... в этом базисе.

Найдем определитель, составленный из координат векторов...... и...:

1 0 5

=...

5 0 9

Т.к. определитель не равен 0, то векторы образуют базис. Найдем координаты вектора... в этом базисе. Для этого нужно найти решение системы уравнений:

Решим ее методом Крамера:

-4 0 5, ==>...

=...

-12 0 9

1 -4 5, ==>...

=...

5 -12 9

1 0 -4, ==>...

=...

5 0 -12

Таким образом, вектор... в базисе......... имеет координаты:...(-1,5;5;-0,5).

Задача 2. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью правила Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение; 3) решить методом Гаусса.

а) решим эту систему по формулам Крамера

Найдем главный определитель системы

-2 1 -3

=...

1 -8 5

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его по правилу Крамера

-4 1 -3

=...

1 -8 5

-2 -4 -3

=...

1 1 5

-2 1 -4

=...

1 -8 1

б) решим эту систему матричным методом. Запишем систему в матричной форме:

A?X=B, где

В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем алгебраические дополнения и составим обратную матрицу:

=...

-8 5 -8 5 7 -2

=...

1 5 1 5 4 -2

=...

1 -8 1 -8 4 7

в) решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (прямой ход):

-2 1 -3 -4 ~ -2 1 -3 -4 ~ -2 1 -3 -4 -2 1 -3 -4

4 7 -2 -6 0 18 -16 -28 0 18 -16 -28 ? 0 18 -16 -28

1 -8 5 1 0 -15 7 -2 0 -15 7 -2 0 0 114 456

Обратный ход:

Задача 3. Даны координаты вершин пирамиды.... Найти:

1) длины ребер...;

2) угол между векторами... и...;

3) площадь грани...;

4) объем пирамиды...;

5) уравнение прямой...;

6) уравнение плоскости...;

7) уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань....

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:

2..............

Тогда:...

3. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

4. объем пирамиды... вычислим по формуле:....

В итоге получим:....

5. Используя формулу, определим уравнение прямой...:

Подставляя данные, получим:....

7. Уравнение плоскости... определим по формуле:....

Преобразуя, получим.... Получим:... или уравнение грани... примет вид:....

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань...:

А4

h А2

А1

А3

Задание 4. Какие кривые определяются следующими уравнениями

Перепишем уравнение... в виде:

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

- уравнение гиперболы.

Система координат сдвинута на вектор... с полуосями....

Задание 5....

1) Построим линию по точкам. Составим таблицу для построения:

i ?0 ?

0 0 3,0

1 15 6,22

2 30 -

3 45 -7,25

4 60 -4,1

5 75 -3,22

6 90 -1,00

7 105 -3,22

8 120 -4,1

9 135 -7,25

10 150 -

11 165 6,22

12 180 3,0

13 195 1,98

14 210 2,0

15 225 1,76

16 240 1,61

17 255 1,53

18 270 1,00

19 285 1,53

20 300 1,61

21 315 1,76

22 330 2,0

23 345 1,98

24 360 3,0

Построим график функции по точкам

2) Найдем уравнение линии в декартовой системе координат, воспользовавшись формулами:

Подставим эти формулы в уравнение линии:

- уравнение гиперболы.

Получилось уравнение гиперболы с центром симметрии О(0;-2) и полуосями a=1 и b=....

Задача 6.

Построим уравнения граничных прямых в одной системе координат.

I. 2x1+2x2=0

x1 0 2

x2 0 -2

II.... =...

x1 0 4

x2 3 6

На основе знаков неравенств определяем, что множеством решений системы будет четырехугольник ABCD.

Задача 7. Вычислить пределы функций, не используя средства дифференциального исчисления

а)...

б)...

Разложим числитель и знаменатель на множители

Тогда

в)...

г)...

Задание 8.

Функция определена на всей числовой оси, но для разных интервалов функция задана различными уравнениями. В каждом из промежутков функция является непрерывной, поэтому разрывы могут быть только на границах промежутков.

x1=-2

Т.к. один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке x1=-2 функция имеет разрыв второго рода.

x2=2

Т.к. оба предела конечны и не равны, то x2=2 - точка разрыва 1- го рода.

Сделаем схематический чертеж

Задание 9. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычислений производных.

1)...

2)...

3)...

4)...

Задача 10.

=...

Интервалу [-3;1] удовлетворяют оба корня.

Определим значения функции в критических точках и на границах интервала:

=...

=...

=...

Таким образом, на отрезке [-3;1] минимальное значение функции равно -4 в точке x=-1, а максимальное 4 в точке x=1.

Задание 11.

Уравнение касательной к графику функции... имеет вид:

Тогда уравнение касательной будет иметь вид:

Составим уравнение нормали:

Т.к...., то уравнение нормали будет иметь вид.... Для определения постоянной C подставим в уравнение...:

==>...

Уравнение нормали:....

Задача 12.

Решение:

1. Область определения функции.

x+2?0, x?-2

x?(-?;-2)?(-2;+?)

2. Асимптоты.

а) вертикальные

x=-2

б) горизонтальные

значит горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонная асимптота...

3. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четной и нечетной функции.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=5/2.

С осью OX: полагаем y=0, тогда..., таких точек нет.

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при...

Составим таблицу

x (-?;-5) -5 (-5;-2) -2 (-2;1) 1 (1;+?)

+ 0 - Не сущ. - 0 +

y возрастает max

ymax=-10 убывает Не сущ. убывает min

ymin=3/2 возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

при..., значит точек перегиба нет.

Построим график функции