Модульный курс по математике

  • ID: 13305 
  • 40 страниц

Фрагмент работы:

Модульный курс по математике

Стр. 17

1.

Пусть x - стоимость одной коробки конфет, тогда по условию задачи можно составить уравнение:

=...

=...

0,3x=36,9

=...

2.

=...

=...

=...

=...

3.

Находим область определения функции, затем отмечаем в этой области нули функции, которые разбивают область определения на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция определена, непрерывна и сохраняет знак. Для определения знака функции на конкретном промежутке находим знак в любой (удобной) точке этого промежутка.

4.

- + - +

-3 -0,5 2

x?(-?;-3)?[-0,5;2]

Стр. 18

1.

Угол равный 1 радиану - дуга окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.

2.

x 0 ?/6 ?/4 ?/3 ?/2 2?/3 3?/4 5?/6 ?

sin x 0......... 1......... 0

cos x 1......... 0 -... -... -... -1

tg x 0... 1... - -... -1 -... 0

ctg x -... 1... 0 -... -1 -... -

3.

4.

Стр. 20

1.

Математическая индукция - общий способ математического доказательства или определения некоторого свойства А для всех натуральных n, основанный на заключении от n к n+1. Математическая индукция состоит из двух этапов: а) установление А для некоторого начального n0; б) обоснование перехода от n к n+1.

2.

1. При n=0:

3=4?0+3=3 -верно

2. Пусть равенство верно при n=k, т.е.

=...

Докажем, что оно верно и при n=k+1:

3+7+11+...+(4к+3)+(4(к+1)+3)=2к2+5к+3+4k+7=(2к2+4k+2)+(5к+5)+3=2(k+1)2+5(k+1)+3, что и требовалось доказать.

Стр. 22

1.

=...

Стр. 23

2.

4В+7А - операцию выполнить нельзя, поскольку размерности матриц не совпадают

- операцию выполнить нельзя, т.к. количество столбцов в матрице В не совпадает с количеством строк в матрице АТ.

3.

4.

Т.к. матрица АВ и ВА равны, то они имеют одинаковую размерность, например m х n. Из произведения АВ следует, что матрица А имеет m строк, а матрица B имеет n столбцов, а из произведения ВА - матрица B имеет m строк, а матрица А - n столбцов. Таим образом, матрица А имеет размерность m х n, а матрица B - n х m. Чтобы было возможно умножение АВ, количество столбцов матрицы А должно быть равно количеству строк матрицы В, т.е. m=n. Получили, что количество строк и столбцов у матриц А и В совпадают, т.е. они квадратные.

Стр. 25

1.

3 -2 7

=...

4 3 14

2.

1) при n=1: det A = a11 - верно

2) пусть утверждение верно при n=k, т.е. определитель диагональной матрицы порядка k равен произведению диагональных элементов этой матрицы:

3) докажем, что это верно и при n=k+1. Для этого разложим определитель по последней строке:

что и требовалось доказать.

3.

Увеличится в 25 раза.

4.

Нет, т.к. минор и алгебраическое дополнение могут отличаться только знаком:

=...

Стр. 26.

5.

А21=3

6.

=...

2 9

=...

-5 8

7.

=...

-5 3 -6 4 14 4 14 -5 -6

4 3 14

8.

4 2 3 5 6 3 2 4 2 5

=...

2 -2 0 5 3 1 3 2 -2 5

3 1 2 3

=...

Стр. 27

1.

Если матрица В является обратной к А, то АВ=ВА=Е, где Е - единичная матрица. Тогда, если матрицы А и А-1 не будут квадратными одного порядка, то одно из произведений А?А-1 или

А-1?А будет не определено.

2.

Пусть две матрицы...и...являются обратными для матрицы.... Тогда

ВАС=(ВА)С=ЕС=С и ВАС=В(АС)=ВЕ=В

Следовательно....

3.

Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то.... Т.к...., поэтому..., что невозможно при....

4.

5.

Для данной матрицы обратная не существует, поскольку она не является квадратной.

6.

4 -2 5

=...

2 9 3

Найдем алгебраические дополнения:

=...

9 3 9 3 7 8

=...

2 3 2 3 -5 8

=...

2 9 2 9 -5 7

Стр. 30

1.

Найдем главный определитель системы:

1 2 ?

=...

2 3 -1

Чтобы система имела не единственное решение, ее определитель должен быть равен 0. Это возможно только при ?=-2.

2.

Не могут

3.

=...

5 -4

Найдем алгебраические дополнения:

=...

=...

5.

=...

5 4

=...

31 4

=...

5 31

Стр. 32

1.

Валовой продукт:

=...

=...

Матрица коэффициентов прямых затрат:

=...

Матрица коэффициентов полных затрат:

3.

Модель Леонтьева называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y.

Стр. 33

1.

Перестановка строк - перестановка уравнений.

Умножение строки на число - умножение соответствующего уравнения на это число.

Сложение (вычитание) строк - сложение (вычитание) соответствующих уравнений.

Стр. 34

2.

Перестановка строк.

3.

4.

Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (прямой ход):

7 -6 8 ~ 7 -6 8

5 -4 7 0 2 9

Обратный ход:

Стр. 38

1.

Множество, замкнутое относительно операций, - множество, для которого заданная алгебраическая операция над любыми элементами этого множества дает результат из того же множества.

2.

Линейное, или векторное пространство L(P) над полем P - это непустое множество L, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества x,y?L ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый x+y?L и

2. умножения на скаляр (элемент поля P), то есть любому элементу ??P и любому элементу x?L ставится в соответствии элемент из L(P), обозначаемый ?x?L(P).

При этом удовлетворяются следующие условия:

1. x+y=y+x, для любых x,y?L (коммутативность сложения);

2. x+(y+z)=(x+y)+z, для любых x,y,z?L (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент ??L, что x+?=x для любого x?L (существование нейтрального элемента), в частности L не пусто;

4. для любого x?L существует такой элемент -x,y?L, что x+(-x)=? (существование противоположного элемента).

5. ?(?x)=(??)x (ассоциативность умножения на скаляр);

6. 1?x=x (существование нейтрального элемента относительно умножения).

7. (?+?)x=?x+?x (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения);

8. ?(x+y)=?x+?y (дистрибутивность сложения относительно умножения на скаляр).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P - скалярами.

Стр. 39

1. Направленный отрезок - это вектор.

Стр. 40.

2.

Потому что результатом этих операций является вектор, т.е. элемент этого же множества.

4.

Векторы параллельны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

5.

Стр. 42

2.

Базис векторного пространства - набор из максимального (для данного пространства) числа линейно независимых векторов.

3.

В линейном пространстве K2[x] многочленов переменного x степени не выше 2 элементы x и x2 линейно независимы: их линейная комбинация ?x+?x2 есть многочлен, который равен нулю лишь при ?=?=0. В то же время пара этих элементов не образует базиса. Многочлен 1 нулевой степени, являющийся элементом K2[x], нельзя представить в виде линейной комбинации многочленов x и x2. Значит, равенство 1=?x+?x2 двух многочленов невозможно ни при каких значениях коэффициентов.

4.

Не может, поскольку размерность - это максимальное количество линейно независимых векторов в данном линейном пространстве.

Стр. 43

1.

Нельзя, т.к. у них разные размерности.

2.

=...

3.

=...

=...

Стр. 44

4.

=...

5.

Найдем определитель, составленный из координат этих векторов:

2 -3 1

=...

3 1 2

Т.к. он отличен от нуля, то векторы образуют базис.

6.

Для этого нужно решить систему уравнений:

Решим ее методом Крамера:

3 -4 3, ==>...

=...

1 3 2

2 3 3, ==>...

=...

1 1 2

2 -4 3, ==>...

=...

1 3 1

Стр. 45.

2.

Нельзя.

3.

Для этого нужно найти решение системы:

Стр. 46.

1.

Прямоугольная система координат - прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям).

2.

У точек такой прямой x2=const

Стр. 47

3.

Пусть точка А имеет координаты А(x1,y1,z1), а точка B - координаты В(x2,y2,z2). Тогда компоненты вектора... равны (x1,y1,z1), а вектора... - (x2,y2,z2). Т.к.... и при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, то... имеет координаты (x2-x1,y2-y1,z2-z1), т.е. получаются путем разности координат точки А из соответствующих координат точки В.

5.

Пусть точка D имеет координаты D(x,y,z).

Т.к. в параллелограмме..., то (8-5;4-6;-2+4)=(x-2;y-5;z+1), откуда x=5, y=3,z=1. Т.е. точка D имеет координаты D(5,3,1).

6.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат.

7.

Это модуль расстояния от точки до оси ординат.

Стр. 48

1.

Минором матрицы порядка k называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении любых k строк и k столбцов матрицы; обозначается Mk.

2.

Определитель такой матрицы равен 0.

Стр. 49

3.

Найдем минор, составленные из элементов на пересечении первых трех строк и столбцов:

4 -2 3

=...

3 3 -1

5.

4 -2 3

5 -7 7

3 3 -1

4 -2 3

0 -18 49

0 18 17

4 -2 3

0 -18 49

0 0 66

Ранг равен 3.

6.

Найдем ранг матрицы, составленной из координат этих векторов:

2 -3 -2 4

3 1 -5 1

4 5 -7 -2

2 -3 -2 4

0 11 -8 22

0 11 -6 8

2 -3 -2 4

0 11 -8 22

0 0 2 -14

Ранг этой матрицы равен 3, поэтому векторы линейно независимы.

Стр. 50

1.

СЛАУ называется вырожденной, если определитель основной матрицы этой системы равен 0.

2.

Потому что в этом случае ранг основной матрицы всегда равен рангу расширенной матрицы.

Стр. 51

3.

Преобразуем расширенную матрицу системы к треугольному виду:

4 1 -5 4 4 1 -5 4 4 1 -5 4

3 3 1 2 0 9 19 -4 0 9 19 -4

2 5 3 3 0 9 11 2 0 0 -8 6

Ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы и равен 3, поэтому по теореме Кронекера-Капелли система совместна.

4.

Пусть X1 и X2 - частные решения, тогда

=...

Стр. 53

2.

=...

=...

=...

=...

=...

=...

Тогда... и...

3.

Признаком перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Стр. 54.

1.

Стр. 55

2.

Координаты противоположных векторов пропорциональны, поэтому его координаты будут равны:...(k;-7k;5k), где k - коэффициент пропорциональности.

Т.к. модуль вектора... равен 15, то

Т.к. вектор... направлен противоположно вектору..., то.... Тогда вектор... имеет координаты...(-...;7...;-5...)

3.

Т.к.... =...

4.

?АВС - это угол между векторами... и....

=...

=...

Тогда

и...

Стр. 56

1.

Тогда

Орт вектора равен...

Стр. 57

2.

Т.к. угол ? - тупой, то...

Тогда орт вектора... будет равен:...=(-...;...;...).

Определим координаты вектора...: (-...?6;...?6;...?6)= (-3...?6;3;3)

3.

=A(4...)Or?

B(-1,-...)Oxy

=...

Т.к. по условию yС > 0, то

=...

4.

r=const

Это окружности

5.

Стр. 61

1.

2.

Стр. 62

4.

=...

Стр. 63

1.

тригонометрическая форма:...

показательная форма:...

для расчета a11 воспользуемся формулой Муавра

==>

Стр. 64.

2.

4.

Эти числа расположены на окружности радиуса... и повернуты относительно друг друга на угол....

Стр. 65

2.

3.

Найдем векторное произведение векторов:

=...

=...

1 2 4

Векторы, перпендикулярные векторам... и..., коллинеарны векторному произведению, поэтому их координаты пропорциональны: (-4k 4k -k). Т.к. модуль этого вектора равен 15, то

33k2=225

k=?...

Таким образом, получим 2 вектора: (-4... 4... -...) и (4... -4......).

4.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах... и....

=...

=...

=...

6 -1 -1

Стр. 66

2.

Найдем определитель, составленный из координат этих векторов:

2 -3 ?

=...

3 2 2

Чтобы векторы были компланарны, этот определитель д.б. равен 0, поэтому:

2?2-9?+7=0

3.

4.

Пусть точка D имеет координаты D(x;0;0), тогда...={1;2;3}...={2;5;8}...={x-2;-5;1}. Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах...... и.... Объем параллелепипеда равен смешанному произведению векторов, взятому по модулю. Найдем смешанное произведение векторов:

1 2 3

=...

x-2 -5 1

Тогда

=...

=...

Стр. 69

1.

2.

Найдем координаты точки М как середины отрезка АC:

Запишем уравнение медианы BМ по 2 точкам:

4.

Если прямые имеют общие точки, то должны быть такие значения переменных t и s, при которых получаются одинаковые координаты, т.е.

Их первых двух уравнений находим, что t=1, а s=0. При этих значениях t и s третье уравнение не обращается в тождество, поэтому прямые общих точек не имеют.

Стр. 70

1.

Направляющий вектор прямой будет нормальным вектором плоскости:...=(3 4 5), тогда уравнение плоскости будет иметь вид:

=...

=...

Стр. 71

3.

Нормальный вектор плоскости в этом случае будет параллелен оси Oy, т.е. в качестве нормального вектора плоскости Р3 можно взять...=(0 1 0). Тогда уравнение плоскости будет:

=...

y=5

4.

Это означает, что плоскость параллельна оси Ox.

5.

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

=...

=...

Тогда

==>...

6.

Это решение системы

Стр. 72

3.

Найдем расстояние от каждой точки до плоскости:

От точки А:...

От точки В:...

Таким образом, точка А удалена на большее расстояние.

Стр. 73.

1.

7x-14=3y+3

7x-3y-17=0 - прямая АВ

Высота ВН ? АС.

==>...

Тогда уравнение высоты будет иметь вид:

=...

=...

2x+9y-61=0 - высота ВН

Найдем координаты середины отрезка АВ:

Тогда уравнение средней линии будет:

=...

=...

=...

2.

==>...

=(3;7)

=...=(-1;2)

=(-4;-5)

Составим уравнение диагонали BD по направляющему вектору и точке, принадлежащей прямой:

=...

5x-4y-1=0 - диагональ BD

Стр. 74

3.

Перейдем к уравнениям с угловыми коэффициентами:

=...

==>...

4.

Найдем расстояния до каждой прямой:

до l1:...

до l2:...

Точка М удалена на большее расстояние от прямой l2.

5.

=...

б)

=...

=...

=...

в)

=...

г)

Она сместится параллельно самой себе вверх

д)

Изменение цен.

В общем виде уравнение будет записано как pxx+pyy=I, откуда.... Угловой коэффициент равен -..., поэтому при изменении px и py будет изменяться угловой коэффициент.

Стр. 75

2.

=...

=...

=...

Центр: (2;-3), радиус:...

3.

==>..., ==>...

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Т.к. точка A(2 3) принадлежит эллипсу, то

=...

Тогда уравнение эллипса будет иметь вид:

4.

Подставим эти формулы в уравнение линии:

=...

=...

=...

=...

=...

- уравнение эллипса

Стр. 76

2.

3.

Стр. 80

2.

=...

=...

3.

?, {2}, {3}, {5}, {2;3}, {2;5}, {2;5}{2;3;5}

5.

6.

A?C={3;4}

=...

=...

Стр. 81

1.

=...

=...

Стр. 82

1.

D(f)?[0;5]

2.

Вершина параболы: x0=2/2=1 - лежит внутри интервала (-1;3].

=...

=...

=...

E(f)?[-4;0]

3.

Потому что одному значению аргумента соответствует более одного значения функции.

Стр. 83

5.

Элементарные функции - класс функций, состоящий из многочленов, рациональных функций, показательных функций, логарифмических функций, тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций, а также функций, получающихся из перечисленных выше с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций.

Сложной функцией называется функция, которая имеет общий вид y = f(g(x)). Функцию g(x) удобно называть внутренней функцией. Если ввести обозначение u = g(x), то функцию y = f(u) можно рассматривать как внешнюю. Внутренняя функция g(x) определена на промежутке X, а множество ее значений составляют промежуток U. Последний является областью определения для внешней функции f(u).

6.

Равновесная цена определяется из уравнения q(p)=s(p):

=...

4p2+5p-9=0

p1 не подходит, т.к. цена не м.б. отрицательной, поэтому p0=1.

Стр. 84.

1.

Да

Горизонтальный отрезок - y=const, вертикальный - x=const.

2.

График четной функции симметричен относительно оси Oy.

3.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

Стр. 85

1.

f-1(x) - это обратная функция для f(x), а (f(x))-1 - это....

2.

==>..., ==>..., ==>...

3.

Графики этих функций симметричны относительно прямой y=x.

5.

Нужно ограничить ее область определения.

Стр. 86.

1.

а) x по второму признаку сравнения ряд расходится.

7.

Т.к ряд знакопеременный и..., то по признаку Лейбница ряд сходится.

Стр. 98.

2.

Существует, т.к. x=2 входит в область определения и значение функции в этой точке равно пределу функции при x?2:

и....

5.

F(x) непрерывна всюду, за исключением нулей функции g(x).

Стр. 99

3.

Стр. 100

4.

5.

6.

Стр. 101.

1.

Условие непрерывности:...

Устранимый разрыв:...

Разрыв I рода:......, причем...

Разрыв II рода:... или (и)...

2.

Если точка является устранимым разрывом.

3.

x1=-1

Т.к. оба односторонних предела конечны, но не равны между собой, то точка x1=-1 является точкой разрыва I рода

x2=0

Т.к. один из односторонних пределов равен бесконечности, то точке x2=0 является разрывом II рода.

Стр. 102.

1.

Да.

3.

Составим таблицу с расчетами:

n..................

0 -1 0 -0,5 -4 -0,25 1

1 -0,5 0 -0,25 -0,25 0,5 0,5

2 -0,5 -0,25 -0,375 -0,25 0,179688 0,25

3 -0,5 -0,375 -0,4375 -0,25 -0,01855 0,125

4 -0,4375 -0,375 -0,40625 -0,01855 0,084351 0,0625

5 -0,4375 -0,40625 -0,42188 -0,01855 0,03389 0,03125

Стр. 106

6.

7.

Линейную функцию... называют дифференциалом функции f в точке x0 и обозначают df. Геометрически дифференциал функции df - это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.

8.

9.

Тогда

Стр. 107.

1.

(С')=0

=...

(...)` =...

=...

=...

=...

=...

=...

=...

=...

2.

Уравнение касательной имеет вид:

Тогда уравнение касательной будет:

3.

Тогда

Тогда уравнение касательной будет:

Стр. 108

4.

Тогда уравнение касательной будет:

5.

Стр. 110

5.

Стр. 113.

3.

Не может, т.к. интервал сходимости этого ряда имеет вид.... При этом ни при каком значении R не получается интервал (-3;5).

Стр. 114.

4.

Сделаем замену: y=x-4. Получим ряд:.... Найдем радиус сходимости ряда:

т.е. ряд сходится при y?(-4;4). Перейдем к старым переменным:

-40, то в точке M2 - минимум. Найдем значение функции в точке M:

=...

3.

2 3 0

=...

0 -2 1

Т.к. ?