Вариант 10. Даны вершины А(х; у), В(х; у), С(х, у) треугольника

  • ID: 13198 
  • 16 страниц

Фрагмент работы:

Вариант №10.

Задача №1

Даны вершины А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3, у3) треугольника.

Сделать чертеж и найти:

1) длину стороны АВ;

2) внутренний угол А с точностью градуса;

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4) точку пересечения высот;

5) уравнение медианы, проведенной через вершину С;

6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

А ( 1; -5 ) В ( 4; -4 ) С ( -2; -1 )

Решение:

Сделаем чертёж:

1)длина стороны АВ:......- длина стороны АВ.

2) внутренний угол А с точностью градуса:

Для поиска угла воспользуемся формулой.... В данном случае k1=kАB, а k2=kАC - угловые коэффициенты прямых АВ и АС.

Найдем угловые коэффициенты по формуле:....

;...==>

==> А=arctg(-3)=180°-72°?108° - внутренний угол А.

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С:

Составим уравнение высоты CD.

Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

y+1=-3.(x+2)

y+1=-3x-6

3x+y+7=0 - уравнение высоты (CD)

Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:

Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

y-yА=kАВ(x-xА)

y+5=...(x-1) - Домножим на 3 обе части уравнения:

3y+15=x-1

x-3y-16=0 - уравнение (AB)

Тогда... (ед. дл.) - длина высоты (СD).

4) точку пересечения высот:

Точку пересечения двух прямых можно найти, решив систему уравнений, задающих эти прямые, поэтому нужно найти уравнение еще одной высоты, например, BK.

Составим уравнение высоты (BK) по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

y-4=3/4.(x-4) - Домножим на 4 обе части уравнения:

=...

3x-4y+28=0 - уравнение (BK), тогда

(.) О:......

Таким образом, высоты пересекаются в точке О: (-56/15;63/15)

5) уравнение медианы, проведенной через вершину С:

Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка АВ:

(.)Е: (5/2; -9/2)

Запишем уравнение медианы (CE) по 2 точкам:...

=...

=...

=...

7x+9y+23=0 уравнение медианы (CE).

6. Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:

Составим уравнение всех сторон треугольника:

Уравнение стороны АВ уже было составлено: x-3y-16=0

Составим уравнение прямой AС по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

=...

y+5=...(x-1) - Домножим на 3 обе части уравнения:

=...

4x+3y+11=0 - уравнение (АС)

Найдем уравнение стороны (ВС) по 2 точкам:

3.(х-4)=-6.(y+4)

=...

x+2y+4=0 - уравнение (BС)

Для определения знаков неравенств в левую часть каждого уравнения подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости:

Подставим (.)С (-2;-1) в уравнение (АВ)...x-3y-16=-2-3.... =...

Подставим (.)В (4;-4) в уравнение (АС)... 4x+3y+11=4.4+3.... =...

Подставим (.)А (1;-5) в уравнение (ВС)... x+2y+4=1+2.... =...

Теперь можно записать систему неравенств:...

Ответ:

1) длина стороны АВ:...=...

2) внутренний угол А с точностью градуса: А ?108°;

3) уравнение и длина высоты, опущенной из вершины С: 3x+y+7=0 - (CD) и...ед.дл.

4) точка пересечения высот О: (-56/15;63/15);

5) уравнение медианы, проведенной через вершину С: 7x+9y+23=0 - (CE);

6) система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:...

Задача №2.

Даны векторы................ Доказать, что векторы............ образуют базис четырёхмерного пространства, и найти координаты вектора...в этом базисе.

=...

=...

=...

=...

=...

Решение:

Чтобы векторы образовывали базис, они должны быть линейно независимы. Составим определитель из координат векторов............ и вычислим его. Если он не равен нулю, то векторы линейно независимы и, следовательно, образуют базис.

Т.к...., то векторы............линейно независимы и, следовательно, образуют базис четырёхмерного пространства.

Найдем координаты вектора... в этом базисе. Для этого решим систему уравнений методом Гаусса. Приведём систему к "почти треугольному" виду:

2 -1 0 1 0

-1 1 1 0 -1

0 -2 1 -2 4

-3 -1 -1 0 -7

*2

*2

2 -1 0 1 0

-2 2 2 0 -2

0 -2 1 -2 4

-6 -2 -2 0 -14

+I

+I*3

2 -1 0 1 0

0 1 2 1 -2

0 -2 1 -2 4

0 -5 -2 3 -14

+II*2

+II*5

2 -1 0 1 0

0 1 2 1 -2

0 0 5 0 0

0 0 8 8 -24

Т. к.......по теореме Кронекера - Капелли система совместна и имеет единственное решение.

Восстановим систему и решим её снизу - вверх:

Проверка:... - верно!

Ответ: вектор... в новом базисе будет выглядеть так:...

Задача №3.

Найти производные функций:

а)...;

б)...;

в)...;

г)....

Решение:

а)...

=...

Ответ:...=...

б)...

Прежде чем искать производную данной функции, преобразуем ее, воспользовавшись правилами логарифмирования степени:

=...

Тогда:...=ln ctg 5x - ln tg 3x

Ответ:...=...

в)...

Ответ:......

г)...

Ответ:......

Задача №4.

Исследовать функцию и построить график:

Решение:

1. Область определения функции:

Т.к. x?..., то

D(у): x?(-?;...) ? (...;+?)

2. Четность и нечетность функции:

==> данная функция свойствами чётности и нечётности не обладает, и ее график не будет симметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси ОУ.

3. Периодичность функции:

Данная функция не является периодической как дробно-рациональная.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения.

5. Асимптоты графика функции:

а) вертикальные асимптоты:

Т.к. данная функция неопределенна в точке x =...:

x =... вертикальная асимптота графика.

б) горизонтальные асимптоты:

горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные асимптоты:

y=k?x+b

==> y= x - наклонная асимптота графика.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов:

Найдем производную функции.

Видим, что производная...существует при любых значениях х==>

==>...

Итак, имеется две критические точки: х1=0 и х2=-2, которые делят область определения функции на интервалы монотонности:

(-?; -2) ? (-2;...) ? (...; 0) ? (0;+?)

Составим таблицу для определения знака производной:

x (-?; -2) -2 (-2;...)... (...; 0) 0 (0;+?)

+ - - +

y возрастает max

y max

=-8/3 убывает Разрыв 2ого рода убывает min

y min =0 возрастает

Итак, точка минимума: В(0; 0)

точка максимума: А(-2; -8/3)

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

==>...

Итак, существует две точки, подозрительные на перегиб: х1=0 и х2=..., они делят область определения функции на интервалы:

(-?;...) ? (...; 0) ? (0;...) ? (...;+?)

Составим таблицу для определения знака второй производной:

x (-?;...)... (...; 0) 0 (0;...)... (...;+?)

- не сущ. + 0 + перегиб -

y выпукла не сущ. вогнута вогнута уперегиба=......1,06 выпукла

Итак, точка перегиба: С(...;...).

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=0==> (.)О(0;0).

С осью OX: полагаем y=0, тогда x=1 ==>(.)О(0;0).

9. Дополнительные точки.

x=-7: y=-7

=...

Построим график функции

Задача №5.

Найти неопределённые интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

а)...;

б)...;

в)...;

г)....

Решение:

а)...

Проверка:

=...

- верно.

Ответ:...=...

б)...

=...

Проверка:

- верно.

Ответ:...=...

в)...

=......=...

=...=...

=...=...

Проверка:

=...

- верно.

Ответ:...=...

г)...

Обозначим:...

Разложим знаменатель дроби на множители:

Тогда, интеграл примет вид:

Разложим дробь на простые слагаемые.

Так как дроби тождественно равны и равны их знаменатели, то должны быть равны и их числители:

Имеем систему уравнений, здесь А, B и С - числа, которые нужно найти:

Подставим найденные числа в равенство:...

Тогда окончательно:

Проверка:

=...

Верно.

Ответ:......

Задача №6.

Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций у= f1(x), у= f2(x), где в зависимости от варианта: f1(x)= а22+ а1x+ а0 и f2(x)= b2x2+ b1x+ b0 или f1(x)= а1х2+ а0 и f2(x)= b2x2- b1x+ b0.

а2 а1 а0 b2 b1 b0

2 -3 2 1 -1 2

Решение:

По данным задачи:

=...

Построим графики функций:

f1(x)= 2x2-3x+2 - парабола.

Для построения парабол найдем координаты их вершин и точки пересечения с осями координат.

Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю.

=...

тогда y(3/4) = 2.... =...

Итак, вершина параболы в точке (3/4;7/8).

Точки пересечения параболы с осью Ох: y=0, тогда

=...

действительных корней нет, значит нет и точек пересечения графика с осями.

f2(x)= x2-x+2- парабола.

=...

тогда y(1/2) = (1/2)2 - 1/2+2 = 7/4.

Итак, вершина параболы в точке (1/2;7/4).

Точки пересечения параболы с осью Ох: y=0, тогда

=...

действительных корней нет, значит нет и точек пересечения графика с осями.

Строим параболы по найденным точкам, замечая, что ветви парабол направлены вверх.

Построим графики и определим искомую площадь

Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболами.

Найдем пределы интегрирования

=...

=...

-x2+2x=0

-х(х-2)=0

x1=0 x2=2

Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой

где функции... ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть... при....

В нашей задаче f2(x)= x2-x+2, f1(x)= 2x2-3x+2...

Вычислим площадь фигуры

Ответ: Площадь искомой фигуры:... (кв.ед.).