Контрольная работа 5, 7: вариант 1

  • ID: 13146 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

№ 321. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Данное уравнение является однородным. Замена... или....

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

или.......

Интегрируя обе части равенства, получим:....

Вычислим....

Тогда:.......

Но.... Подставляя, получим:....

Общее решение примет вид:...

№ 331. Найти общее решение....

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:... - уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Так как..., получим, что...

Общее решение примет вид:....

№ 341. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:...

откуда.... Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

№ 421. Исследовать на сходимость числовой ряд....

Решение:

Применим признак сравнения. Рассмотрим дополнительный ряд....

Обозначим....

Вычислим отношение:....

Придел выражения равен конечному числу. Значит, оба ряда ведут себя одинаково. Исследуем данный ряд на сходимость по интегральному признаку.

Интеграл сходится. Значит, сходится ряд... и тем более....

№ 431. Найти интервал сходимости степенного ряда.......

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда...

Ряд сходится всюду, то есть интервал сходимости....

№ 441. Вычислить приближенно определённый интеграл, используя разложение в степенной ряд. Результат получить с точностью до 0,001.

Решение:

Задан определенный интеграл:....

Вычислить приближенно определённый интеграл, используя разложение в степенной ряд, а затем проинтегрируем каждый член разложения.

Воспользуемся разложением:...

Вычислим определенный интеграл:

№ 451. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения... дифференциального уравнения..., удовлетворяющего начальному условию....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

Ответ:...

№ 461. Разложить в ряд Фурье функцию... в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

В нашем случае:....

Вычислим:

Ответ:....