Контрольная работа 5, 7: вариант 1

  • ID: 13146 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

№ 321. Найти общее решение дифференциального уравнения [image].

Данное уравнение является однородным. Замена [image] или [image].

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

[image] или [image], [image].

Интегрируя обе части равенства, получим: [image].

Вычислим [image].

Тогда: [image], [image].

Но [image]. Подставляя, получим: [image].

Общее решение примет вид: [image]

№ 331. Найти общее решение [image].

Уравнение не содержит явно [image], поэтому сделаем замену [image], [image], тогда

уравнение примет вид: [image] - уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image]. Так как [image], получим, что [image]

Общее решение примет вид: [image].

№ 341. Найти общее решение [image] при начальных условиях

[image].

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image]. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image]

Подставляем и получим: [image],

откуда [image]. Тогда [image].

Общее решение: [image] и [image].

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям [image]:

[image], , [image]. Находим, что [image], [image].

Окончательно, получим: [image]

№ 421. Исследовать на сходимость числовой ряд [image].

Решение:

Применим признак сравнения. Рассмотрим дополнительный ряд [image].

Обозначим [image].

Вычислим отношение: [image].

Придел выражения равен конечному числу. Значит, оба ряда ведут себя одинаково. Исследуем данный ряд на сходимость по интегральному признаку.

[image].

Интеграл сходится. Значит, сходится ряд [image] и тем более [image].

№ 431. Найти интервал сходимости степенного ряда [image], [image].

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера: [image], в нашем случае [image].

Тогда [image]

[image].