Вариант 1, Контрольная работа 5
- ID: 13129
- 5 страниц
Фрагмент работы:
Контрольная работа №5
Вариант 1
№ 511. Вычислить объем тела [image], ограниченного кривыми [image]
[image]
Решение:
Кривая [image] - окружность радиуса 4 в плоскости XY.
Кривая [image] - парабола [image].
Выполним чертеж:
[image]
Точки пересечения кривых в плоскости XY: [image], [image], [image]
Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:
[image]
[image].
№ 521. Вычислить площадь, перейдя к полярным координатам.
[image]
Решение:
Кривая [image] - окружность радиуса 3 с центром в точке [image].
Кривые [image] - прямые.
Выполним чертеж:
[image]
Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:
[image].
Перейдем к полярным координатам:
[image]
В итоге получим:
[image], [image]
так как [image].
[image]
[image].
Ответ: [image].
№ 531. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией [image] [image]
Решение:
Массу тела определим по формуле:
[image]
[image]
[image]
[image]
[image]
Область D показана на рисунке:
[image]
В итоге масса тела равна: [image].
№ 541. Вычислить криволинейный интеграл [image], причем [image].
Решение:
В полярной системе координат элемент кривой определяется по формуле: [image]
Так как [image], то получим:
[image]
[image]
Ответ: [image].
№ 551. Вычислить работу [image] вдоль кривой [image], причем [image].
Решение:
Вычислим работу:
[image]
[image]
[image]
Получим: [image].
№ 561. Проверить, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его.
[image].
Решение:
Введем обозначение: [image] и [image].
Вычислим: [image], [image]. Так как [image], то интеграл не зависит от пути интегрирования.
Вычислим интеграл вдоль прямой [image].
Тогда: [image]
[image]