Вариант 1, Контрольная работа 5

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 1

№ 511. Вычислить объем тела..., ограниченного кривыми...

Решение:

Кривая... - окружность радиуса 4 в плоскости XY.

Кривая... - парабола....

Выполним чертеж:

…

Точки пересечения кривых в плоскости XY:.........

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

…

№ 521. Вычислить площадь, перейдя к полярным координатам.

Решение:

Кривая... - окружность радиуса 3 с центром в точке....

Кривые... - прямые.

Выполним чертеж:

…

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

Перейдем к полярным координатам:

…

В итоге получим:

так как....

…

Ответ:....

№ 531. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией......

Решение:

Массу тела определим по формуле:

…

Область D показана на рисунке:

…

В итоге масса тела равна:....

№ 541. Вычислить криволинейный интеграл..., причем....

Решение:

В полярной системе координат элемент кривой определяется по формуле:...

Так как..., то получим:

…

Ответ:....

№ 551. Вычислить работу... вдоль кривой..., причем....

Решение:

Вычислим работу:

…

Получим:....

№ 561. Проверить, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его.

Решение:

Введем обозначение:... и....

Вычислим:....... Так как..., то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Вычислим интеграл вдоль прямой....

Тогда:...

…

Ответ:....

№ 571. Используя формулу Остроградского найти поток векторного поля... через внешнюю сторону поверхности...

Решение:

Воспользуемся формулой Остроградского:..., в нашем случае....

Получим:...

Область D:... - круг радиуса 1. Для вычисления интеграла перейдем к полярной системе координат:...

В итоге получим:

Ответ:....

…