Вариант 1, Контрольная работа 5

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 1

№ 511. Вычислить объем тела [image], ограниченного кривыми [image]

[image]

Решение:

Кривая [image] - окружность радиуса 4 в плоскости XY.

Кривая [image] - парабола [image].

Выполним чертеж:

[image]

Точки пересечения кривых в плоскости XY: [image], [image], [image]

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

[image]

[image].

№ 521. Вычислить площадь, перейдя к полярным координатам.

[image]

Решение:

Кривая [image] - окружность радиуса 3 с центром в точке [image].

Кривые [image] - прямые.

Выполним чертеж:

[image]

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

[image].

Перейдем к полярным координатам:

[image]

В итоге получим:

[image], [image]

так как [image].

[image]

[image].

Ответ: [image].

№ 531. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией [image] [image]

Решение:

Массу тела определим по формуле:

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

Область D показана на рисунке:

[image]

В итоге масса тела равна: [image].

№ 541. Вычислить криволинейный интеграл [image], причем [image].

Решение:

В полярной системе координат элемент кривой определяется по формуле: [image]

Так как [image], то получим:

[image]

[image]

Ответ: [image].

№ 551. Вычислить работу [image] вдоль кривой [image], причем [image].

Решение:

Вычислим работу:

[image]

[image]

[image]

Получим: [image].

№ 561. Проверить, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его.

[image].

Решение:

Введем обозначение: [image] и [image].

Вычислим: [image], [image]. Так как [image], то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Вычислим интеграл вдоль прямой [image].

Тогда: [image]

[image]