Вариант 3. Даны вершины А(х; у), В(х; у), С(х, у) треугольника

Фрагмент работы:

Задача №1.

Даны вершины А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3, у3) треугольника.

Сделать чертеж и найти:

1) длину стороны АВ;

2) внутренний угол А с точностью градуса;

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4) точку пересечения высот;

5) уравнение медианы, проведенной через вершину С;

6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

А(2;0), В(-1;-4), С(-4;-3)

Решение:

А(2;0), В(-1;-4), С(-4;-3)

1) AB=...

2) Для поиска угла воспользуемся формулой.... В данном случае k1=kАC, а k2=kАB.

Найдем угловые коэффициенты по формуле:....

;...

Тогда..., ==> ?=arctg... = 27°

3) Составим уравнение высоты CD. Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых

…

Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

y+3=...(x+4)

=...

=...

Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:

…

Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

=...

y=...(x-2)

3y=4x-8

=...

Тогда...

4) Точку пересечения двух прямых можно найти, решив систему уравнений, задающих эти прямые, поэтому нужно найти уравнение еще одной высоты, например, BK.

…

Составим уравнение высоты по известной точке B и угловому коэффициенту:

=...

=...

y+4=-2x-2

=...

Таким образом, высоты пересекаются в точке О(0;-6)

5) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка АВ.

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

…

=...

=...

6. Составим уравнение всех сторон треугольника:

Уравнение стороны АВ уже было составлено: 4x-3y-8=0

Составим уравнение прямой AС по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

=...

y=...(x-2)

2y=x-2

=...

Найдем уравнение стороны ВС по 2 точкам:

…

x+1=-3y-12

=...

Теперь можно определить систему неравенств. По рисунку видно, что точка (0;-2) явно принадлежит треугольнику. Подставим ее координаты в каждое уравнение:

=...

=...

=...

Теперь можно записать систему неравенств:

…

Построим треугольник

…

Задача №2.

Даны векторы................ Доказать, что векторы............ образуют базис четырёхмерного пространства, и найти координаты вектора...в этом базисе.

=...

=...

=...

=...

=...

Решение:

Чтобы векторы образовывали базис, они должны быть линейно независимы. Составим определитель из координат векторов............ и вычислим его. Если он не равен нулю, то векторы линейно независимы и, следовательно, образуют базис.

=...

=...

-1 3 -2 2 1 3 1 1 3 1

0 1 3 1

Найдем координаты вектора... в этом базисе. Для этого решим систему уравнений, в матричном виде которая запишется

=...

1 -2 3 1 x2 -2

-2 0 -2 3 x3 -4

3 -1 2 1 x4 6

Таким образом, вектор... имеет координаты:...

Задача №3.

Найти производные функций:

а)...;

б)...;

в)...;

г)....

Решение:

а)...

…

б)...

…

в)...

…

г)...

…

Задача №4.

Исследовать функцию и построить график:

…

Решение:

…

1. Область определения функции.

x-1?0

x?1

x?(-?;1)?(1;+?)

2. Асимптоты.

а) вертикальные

x=1

…

б) горизонтальные

…

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=k?x+b

==> наклонных асимптот нет

3. Четность и нечетность функции.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: x=0, ==> y=0.

С осью OX: полагаем y=0, тогда

x3=0

x=0

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную функции.

…

=...

x=0 x=1,5

не существует при x=1

x (-?;0) 0 (0;1) 1 (1;1,5) 1,5 (1,5;+?)

- 0 - не сущ. - 0 +

y убывает убывает не сущ. убывает min

ymin=6,75 возрастает

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Найдем вторую производную

…

=...

D=9-4?3=-3 корней нет

не существует при x=1

x (-?;0) 0 (0;1) 1 (1;+?)

+ 0 - не сущ. +

y вогнута перегиб

yпер=0 выпукла не сущ. вогнута

Построим график функции

…

Задача №5.

Найти неопределённые интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

а)...;

б)...;

в)...;

г)....

Решение:

а)...

Проверка:

…

б)...

Проверка:

…

в)...

Проверка:

…

г)...

Выделим целую часть

5x3-8 x3-4x2+4x

5x3-20x2+20x 5

20x2-20x-8

…

Разложим дробь на простые слагаемые. Для этого сначала разложим знаменатель на множители

=...

Тогда

…

Имеем систему уравнений

…

Проверка:

…

Задача №6.

Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций: f1(x)= x2-3x+1 и f2(x)=-x2-3x+1.

Решение:

=...

Построим графики функций

f1(x)=x2-3x+1 - парабола.

Вершина параболы...

=...

f2(x)=-x2-3x+1 - парабола.

Вершина параболы...

=...

Построим графики функций и определим фигуру

…

Найдем пределы интегрирования

=...

2x2=0

x=0, ==> графики касаются, и искомая площадь равна 0.

…