Шифр 96. А(2;0), В(-1;4), С(-4;3)

Фрагмент работы:

№1.

А(2;0), В(-1;4), С(-4;3)

1) AB=...

2) Для поиска угла воспользуемся формулой.... В данном случае k1=kАB, а k2=kАC.

Найдем угловые коэффициенты по формуле:....

;...

Тогда..., ==> ?=arctg... = 27°

3) Составим уравнение высоты CD. Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых

…

Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

y-3=...(x+4)

=...

=...

Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:

…

Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

=...

y=...(x-2)

3y=-4x+8

=...

Тогда...

4) Точку пересечения двух прямых можно найти, решив систему уравнений, задающих эти прямые, поэтому нужно найти уравнение еще одной высоты, например, BK.

…

Составим уравнение высоты по известной точке B и угловому коэффициенту:

=...

y-4=2(x+1)

y-4=2x+2

=...

Таким образом, высоты пересекаются в точке О(0;6)

5) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка АВ.

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

…

=...

=...

6. Составим уравнение всех сторон треугольника:

Уравнение стороны АВ уже было составлено: 4x+3y-8=0

Составим уравнение прямой AС по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

=...

y=...(x-2)

2y=-x+2

=...

Найдем уравнение стороны ВС по 2 точкам:

…

x+1=3y-12

=...

Теперь можно определить систему неравенств. По рисунку видно, что точка (0;2) явно принадлежит треугольнику. Подставим ее координаты в каждое уравнение:

=...

=...

=...

Теперь можно записать систему неравенств:

…

Построим треугольник

…

№2.

Чтобы векторы образовывали базис, они должны быть линейно независимы. Составим определитель из координат векторов............ и вычислим его. Если он не равен нулю, то векторы линейно независимы и, следовательно, образуют базис.

=...

=...

-1 1 3 1 -2 1 0 -2 -1 1

-2 -1 1 0

Найдем координаты вектора... в этом базисе. Для этого решим систему уравнений, в матричном виде которая запишется

=...

-1 -2 1 -1 x2 -1

0 2 3 1 x3 0

2 1 1 0 x4 1

Таким образом, вектор... имеет координаты:...

№3.

а)...

…

б)...

…

в)...

…

г)...

…

№4.

…

1. Область определения функции.

x-2?0

x?2

x?(-?;2)?(2;+?)

2. Асимптоты.

а) вертикальные

x=2

…

б) горизонтальные

…

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=k?x+b

…

y=x+1 - наклонная асимптота

3. Четность и нечетность функции.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: x=0, ==>....

С осью OX: полагаем y=0, тогда

(x-1)3=0

x=1

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную функции.

…

=...

x=1 x=4

не существует при x=2

x (-?;1) 1 (1;2) 2 (2;4) 4 (4;+?)

+ 0 + не сущ. - 0 +

y возрастает возрастает не сущ. убывает min

ymin=6,75 возрастает

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Найдем вторую производную

…

x-1=0

x=1

не существует при x=2

x (-?;1) 1 (1;2) 2 (2;+?)

- 0 + не сущ. +

y выпукла перегиб

yпер=0 вогнута не сущ. вогнута

Построим график функции

…

№5.

а)

…

Проверка:

…

б)

…

Проверка:

…

в)

…

Проверка:

…

г)...

Выделим целую часть

x3+3 4x3-x

x3-x/4 1/4

x/4+3

…

Разложим дробь на простые слагаемые. Для этого сначала разложим знаменатель на множители

=...

Тогда

…

=...

=...

=...

Тогда

…

Проверка:

…

№6.

=...

Построим графики функций

f1(x)=2x2-3x-1 - парабола.

Вершина параболы...

=...

f2(x)=x2-2x-1 - парабола.

Вершина параболы...

=...

Построим графики функций и определим фигуру

…

Найдем пределы интегрирования

=...

x2-x=0

x(x-1)=0

x1=0 x2=1

Вычислим площадь фигуры по формуле:

…

В данном случае, y1(x)=x2-2x-1, y2(x)=2x2-3x-1, a=0, b=1

…