Вариант 7: задания 2, 4, 5, 7, 8, 9, 13

  • ID: 12716 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 7: задания 2, 4, 5, 7, 8, 9, 13

Вариант 7

Задание 2. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число... в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения....

Решение:

1. Преобразуем число....

Алгебраическая форма записи числа a:....

Модуль a:...

Тригонометрическая форма:...

Показательная форма:...

2) найдем z3 по формуле:...

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

=...

В нашем случае:...

при...

при...

при...

Задание 4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Решение:

1...., функция... имеет бесконечный разрыв в точке..., которая принадлежит промежутку....

Итак....

Интеграл равен конечному числу, значит несобственный интеграл сходится.

2....

Интеграл сходится.

3....

Интеграл сходится.

Задание 5. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми.... Сделать чертеж области.

Решение:

Выполним чертеж:

Найдем точки пересечения гиперболы и прямой, решив систему уравнений:

Решим полученное квадратное уравнение:...

Найдем соответствующие ординаты... из уравнения....... Итак, точки пересечения параболы и прямой есть точки....

Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную гиперболой и прямыми. Здесь функции... и... ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть... при....

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой

Ответ: Искомая площадь равна:...

Задание 7. Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка...

Решение:

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:... - уравнение линейно относительно переменной z.

Замена.... Имеем....

Пусть.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:... или..., интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда......

Общее решение примет вид:....

Задание 8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Решение:

Найти общее решение... при начальных условиях.......

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:....

Подставляем и получим:...

откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Используя начальные данные, определим коэффициенты... и....

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:....

Ответ:....

Задание 9. Исследовать на сходимость числовой ряд.

Решение:

Исследуем ряд....

Данный ряд знакопеременный, так как при различных значениях n общий член ряда может принемать положительные и отрицательные значения.

Применим признак Лейбница:

1. С возрастанием n члены ряда убывают по абсолютной величине:...

2....

Значит по признаку Лейбница ряд сходится.

Задание 13. Вычислить производную функции....

Решение:

Ответ:...