Вариант 7: задания 2, 4, 5, 7, 8, 9, 13

  • ID: 12716 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 7

Задание 2. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число [image] в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения [image].

Решение:

1. Преобразуем число [image].

Алгебраическая форма записи числа a: [image].

Модуль a: [image]

[image]

Тригонометрическая форма: [image]

Показательная форма: [image]

2) найдем z3 по формуле: [image]

[image]

[image]

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

[image], k=0,1,…,n-1

В нашем случае: [image]

[image] [image]

[image] при [image]

[image] при [image]

[image] при [image]

Задание 4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Решение:

1. [image], функция [image] имеет бесконечный разрыв в точке [image], которая принадлежит промежутку [image].

Итак, [image].

Интеграл равен конечному числу, значит несобственный интеграл сходится.

2. [image]

Интеграл сходится.

3. [image]

Интеграл сходится.

Задание 5. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми [image]. Сделать чертеж области.

Решение:

Выполним чертеж:

[image]

Найдем точки пересечения гиперболы и прямой, решив систему уравнений:

[image].

Решим полученное квадратное уравнение: [image]

Найдем соответствующие ординаты [image] из уравнения [image]. Итак, точки пересечения параболы и прямой есть точки [image].

Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную гиперболой и прямыми. Здесь функции [image] и [image] ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть [image] при [image].

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой

[image]

[image]

[image]

Ответ: Искомая площадь равна: [image]

Задание 7. Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка [image]

Решение:

Уравнение не содержит явно [image], поэтому сделаем замену [image], [image], тогда

уравнение примет вид: [image] - уравнение линейно относительно переменной z.