Контрольная работа 5, 6: задачи 327, 337, 347, 377, 387, 397

  • ID: 12704 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Контрольная работа 5, 6: задачи 327, 337, 347, 377, 387, 397

№ 327. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Данное уравнение является однородным. Перепишем уравнение в виде...

Тогда сделаем замену...

Получим после подстановки:... или....

Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Используя замену..., получим:... или...

Общее решение:...

№ 337. Найти общее решение...

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:... - уравнение линейно относительно переменной z.

Замена.... Имеем....

Пусть.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:... или..., интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда......

Общее решение примет вид:....

№ 347. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:..., откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

№ 377. Вычислить спомощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнение в декартовых координатах (а > 0)

Решение:

Задана кривая вида:...

Выполним чертеж:

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

Перейдем к полярным координатам:

В итоге получим:

так как....

В силу симметрии графика, достаточно вычислить площадь.... Тогда....

Ответ:...

№ 387. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость xOy.

Выполним чертеж:

Решение:

№ 397. Вычислить криволинейный интеграл:... вдоль дуги L кривой... от точки... до точки.... Сделать чертеж.

Решение:

Получим:....