Контрольная работа 5, 6: задачи 327, 337, 347, 377, 387, 397

  • ID: 12704 
  • 4 страницы
350 рубСкачать

12704.doc

Фрагмент работы:

№ 327. Найти общее решение дифференциального уравнения [image].

Данное уравнение является однородным. Перепишем уравнение в виде [image]

Тогда сделаем замену [image],

Получим после подстановки: [image] или [image].

Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image]. Используя замену [image], получим: [image] или [image]

Общее решение: [image]

№ 337. Найти общее решение [image]

Уравнение не содержит явно [image], поэтому сделаем замену [image], [image], тогда

уравнение примет вид: [image] - уравнение линейно относительно переменной z.

Замена [image]. Имеем [image].

Пусть [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image]. Подставляя в (1), получим: [image] или [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image].

[image]. Тогда [image], [image]

Общее решение примет вид: [image].

№ 347. Найти общее решение [image] при начальных условиях

[image].

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image]. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image]

Подставляем и получим: [image], откуда [image].

Тогда [image]. Общее решение: [image] и [image].

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям [image]:

[image], [image], [image]

Находим, что [image], [image].

Окончательно, получим: [image]

№ 377. Вычислить спомощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнение в декартовых координатах (а > 0)

Решение:

Задана кривая вида: [image]

Выполним чертеж:

[image]

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

[image].

Перейдем к полярным координатам:

[image]

В итоге получим:

[image], [image], так как [image].