Контрольная работа 1, 2: вариант 4

  • ID: 12604 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1, 2: вариант 4

К.Р. №1.

№114.

1 3 -4 -1 2 0

=...

3 -2 4 4 -7 1

1*(-1)+3*6-4*4 1*2+3*(-10)-4*(-7) 1*(0)+3*1-4*1 1 0 -1

=...

3*(-1)-2*6+4*4 3*2-2*(-10)+4*(-7) 3*(0)-2*1+4*1 1 -2 2

Найдем обратную матрицу. Для этого найдем определитель и алгебраические дополнения:

1 0 -1

=...

1 -2 2

=...

-2 2 -2 2 -1 3

=...

1 2 1 2 -1 3

=...

1 -2 1 -2 -1 -1

Тогда

Проверка:

1 0 -1 4 2 -1

=...

1 -2 2 3 2 -1

1*4+0*5-1*3 1*2+0*3-1*2 1*(-1)+0*(-2)-1*(-1) 1 0 0

=...

1*4-2*5+2*3 1*2-2*3+2*2 1*(-1)-2*(-2)+2*(-1) 0 0 1

Найдем решение системы C?X=b с помощью обратной матрицы.

4 2 -1 0 4*(0)+2*(-2)-1*(-1) -3

=...

3 2 -1 -1 3*(0)+2*(-2)-1*(-1) -3

Таким образом, решением системы будут числа: x=-3, y=-4, z=-3.

№124.

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса:

1 -3 0 4 -1 ~ 1 -3 0 4 -1 ~ 1 -3 0 4 -1 ~ 1 -3 0 4 -1

-2 1 1 1 1 0 -5 1 9 -1 0 -5 1 9 -1 0 -5 1 9 -1

0 -5 1 3 -1 0 -5 1 3 -1 0 0 0 -6 0 0 0 0 -6 0

4 -7 -1 1 -3 0 5 -1 -15 1 0 0 0 -6 0 0 0 0 0 0

Число ненулевых строк как основной, так и расширенной матриц, равно 3, поэтому Rg A = Rg A* =3 и по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Ранг основной матрицы равен 3, поэтому в системе есть 3 базисных и 4-3=1 свободная переменная. Выберем в качестве свободной переменную x3. Найдем общее решение неоднородной системы:

Из общего решения системы найдем какое-нибудь частное решение. Для этого подставим вместо свободной переменной какое-нибудь значение, например, x3=-1. Получим частное решение:

№134.

Найдем координаты векторов:

=...

а) скалярное произведение (...+2...)?(...-...):

=...

=...

=...

б) векторное произведение (...+2...)?(...-...):

=...

=...

-3 1 0

=...

в) смешанное произведение...?...?...:

2 1 -1

=...

1 -2 1

№144.

Найдем координаты точки М как середины отрезка А2А3:

Запишем уравнение медианы А1М по 2 точкам:

4x-12=9y-9

=...

Найдем угловой коэффициент стороны А2А3:

Т.к. высота А1Н перпендикулярна стороне А2А3, то по условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты А1Н по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

y-3=...(x-3)

4y-12=-x+3

=...

№154.

Найдем координаты проекции точки М на прямую. Пусть это будет точка N(x0,y0,z0). Координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой, поэтому:

Перейдя к параметрическому уравнению прямой, получим:

==>...

Вектор... перпендикулярен направляющему вектору прямой, поэтому их скалярное произведение равно 0. Тогда:

=...

={3;2;-2}

=...

Тогда...={-6;-9;-18}, а...

№164.

1) Построим линию по точкам. Составим таблицу для построения:

i ? ?

0 0 -20,00

1 15 -22,28

2 30 -33,44

3 45 -164,85

4 60 40,00

5 75 16,35

6 90 10,00

7 105 7,20

8 120 5,71

9 135 4,85

10 150 4,35

11 165 4,08

12 180 4,00

13 195 4,08

14 210 4,35

15 225 4,85

16 240 5,71

17 255 7,20

18 270 10,00

19 285 16,35

20 300 40,00

21 315 -164,85

22 330 -33,44

23 345 -22,28

24 360 -20,00

Построим график линии:

2) Найдем уравнение линии в декартовой системе координат, воспользовавшись формулами:

Подставим эти формулы в уравнение линии:

Получилось уравнение гиперболы с центром симметрии О(-12;0) и полуосями a=8 и b=....

Построим ее график:

№174.

а)...

б) Модуль z:...

Аргумент z:...

в) тригонометрическая форма:

показательная форма:

г) найдем z3 по формуле:

д) Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

=...

Изобразим полученные корни точками на плоскости:

К.Р. №2.

№204.

a)...

b)...

c)...

№214.

а)...

b)...

с)...

№224.

а) найдем область определения функции

=...

б)

x=-1

Т.к. оба односторонних предела конечны, но не равны между собой, то в точке x=-1 функция имеет разрыв I рода, или скачок.

x=0

Т.к. оба односторонних предела конечны и равны между собой, то точка x=0 является устранимым разрывом.

в) если доопределить функцию

то в точке x=0 функция станет непрерывна.

№234.

Уравнение касательной имеет вид:

Тогда уравнение касательной будет иметь вид:

№244.

№254.

x0=1

Преобразуем функцию:

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора функции.... Тогда

Ограничившись пятью первыми, отличными от 0, членами, получим:

№264.

x?[-3;6]

при..., ==>..., ==>...

не существует при..., ==>...

Таким образом, на интервале [-3;6]......

№274.

Пусть ширина и высота канала равны x и h соответственно, тогда площадь сечения канала будет равна: S=x?h, ==>.... Определим периметр канала:

Т.к. площадь, смачиваемая жидкостью, должна быть наименьшей, то соответственно должен быть наименьшим периметр сечения канала.

Исследуем эту функцию на наименьшее значение при x?(0;+?)

при... ?...?...

Таким образом, для того чтобы на изготовление бака потребовалось наименьшее количество материала, ширина канала должна быть равной..., а высота канала....

№284.

а)...

1. Область определения функции.

x?(-?;+?)

2. Четность и нечетность функции.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

3. Асимптоты.

а) вертикальных нет, т.к. нет точек разрыва

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонных асимптот нет

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда..., ==> x=0 и x=1.

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при...

x=1 x=...

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;...)... (...;1) 1 (1;+?)

- 0 + 0 +

y убывает min

ymin=... возрастает 0 возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

при...

x=1 x=...

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;...)... (...;1) 1 (1;+?)

+ 0 - 0 +

y вогнута перегиб

yпер=... выпукла перегиб

yпер=0 вогнута

Построим график функции

б)...

1. Область определения функции.

x?(-?;+?)

2. Четность и нечетность функции.

==> функция является четной, и ее график симметричен относительно оси OY.

3. Асимптоты.

а) вертикальных нет, т.к. нет точек разрыва

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=k?x+b

y=...x-1 - наклонная асимптота при x?+?

y=-...x-1 - наклонная асимптота при x?-?

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда..., ==> x=0.

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную функции.

=...

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;0) 0 (0;+?)

- 0 +

y убывает min

ymin=0 возрастает

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Найдем вторую производную

==> x=?

Т.к.рая производная всегда положительна, то график функции является вогнутым

Построим график функции