Контрольная работа 5: задачи 328, 348, 428, 438; Контрольная работа 6: задачи 528, 538, 548, 558, 578

  • ID: 12493 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

№ 328. Найти общее решение дифференциального уравнения [image].

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде [image].

Получим после подстановки: [image]. (1)

Пусть [image], тогда [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image]. Подставляя в (1), получим:

[image] или [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image].

Тогда [image]

Общее решение примет вид: [image].

№ 348. Найти общее решение [image] при начальных условиях

[image].

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image], [image]. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image]

Подставляем и получим: [image],

откуда [image].

Тогда [image]. Общее решение: [image] и [image].

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям [image]:

[image], [image], [image]

Находим, что [image], [image].

Окончательно, получим: [image]

Общее решение: [image].

Частное решение: [image].

№ 428. Исследовать сходимость числового ряда [image], [image].

Решение: используя формулу Даламбера: [image], в нашем случае [image].

Тогда [image]. Значит данный ряд расходится.

№ 438. Найти область сходимости степенного ряда [image], [image].

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера: [image], в нашем случае [image].

Тогда [image].

При [image] - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При [image]: [image] - ряд знакочередующийся.

Исследуем ряд со слагаемыми [image] . Применим необходимый признак сходимости ряда: [image]. Значит ряд расходится абсолютно.

При [image]: [image] - аналогично используем необходимый признак сходимости ряда: [image]..

Ответ: Ряд сходится при [image].