Контрольная работа 5: задачи 328, 348, 428, 438; Контрольная работа 6: задачи 528, 538, 548, 558, 578

  • ID: 12493 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 5: задачи 328, 348, 428, 438; Контрольная работ…

№ 328. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:

или..., интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда...

Общее решение примет вид:....

№ 348. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:...

откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

Общее решение:....

Частное решение:....

№ 428. Исследовать сходимость числового ряда.......

Решение: используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда.... Значит данный ряд расходится.

№ 438. Найти область сходимости степенного ряда.......

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Исследуем ряд со слагаемыми.... Применим необходимый признак сходимости ряда:.... Значит ряд расходится абсолютно.

При...:... - аналогично используем необходимый признак сходимости ряда:.....

Ответ: Ряд сходится при....

№ 528. Вероятность наступления события в каждом из одинавовых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.

Решение:

Найдем вероятность P(k1?...?k2) с помощью формулы Лапласа.... =...

Значение n?10, поэтому для расчетов воспользуемся интегральной формулой Лапласа:

Pn(k1;k2)?Ф(x2) - Ф(x1), где... и..., а Ф(x) - интегральная функция Лапласа, значения которой определяются по таблице

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-5,54)=-Ф(5,54)=1, а Ф(-2,24)=0,4876 ==> P125(75;90)?1-0,4876=0,5124.

№ 538. Дискретная случайная величина X может принимать только два значение:... и..., причем.... Известны вероятность... возможного значения..., математическое ожидание... и дисперсия.... Найти закон распределения этой случайной величины.

Решение:

Сумма вероятностей всех возможных значений X равна единице, поэтому вероятность... того, что X примет значение... равна....

Запишем закон распределения X:

x......

p 0,6 0,4

Для отыскания... и... составим два уравнения. Учитывая, что по условию... запишем первое уравнение:.... Используя формулу для дисперсии..., запишем второе уравнение:....

Решаем систему уравнений:

Получим:...... при условии, что....

№ 548. Случайная величина X задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x). Требуется: а) найти плотность распределения вероятности; найти математическое ожидание и дисперсию X.

Решение:

а)...

б) математическое ожидание вычисляется по формуле

Определим дисперсию:

=...

№ 558. Известны математическое ожидания...и среднее квадратическое отклонение... нормального распределенной случайной величины.... Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал....

Решение:...

Вероятность того, что случайная величина попадет в заданный интервал..., определяется по формуле:...

где... - функция Лапласа, значение которой находится из таблицы.

В данном случае....

№ 578. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания...нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю..., объем выборки n = 169 и среднее квадратическое отклонение....

Решение:

Доверительный интервал для оценки математического ожидания находится по формуле

где ? - среднее квадратическое отклонение, а t - коэффициент доверия, который находится из соотношения 2Ф(t)=?.

Так как ?=0,95

Найдем t:

=...

По таблице значений функции Ф(t) определяем, что значению функции, равному 0,475, соответствует значение аргумента, равное t=1,96

Тогда доверительный интервал будет

(75,10-1,96;75,10+1,96)

(73,14;77,06)