Контрольная работа 5: задачи 328, 338, 348. Контрольная работа 6: задачи 428, 438, 448, 458, 468

  • ID: 12201 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

№ 328. Найти общее решение дифференциального уравнения [image].

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде [image].

Получим после подстановки: [image]. (1)

Пусть [image], тогда [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image]. Подставляя в (1), получим:

[image] или [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image].

Тогда [image]

Общее решение примет вид: [image].

№ 338. Найти общее решение [image].

Уравнение не содержит явно [image], поэтому сделаем замену [image], [image], тогда после замены, уравнение примет вид: [image] или [image].

Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image]. Используя сделанную ранее замену [image], получим: [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image].

В итоге общее решение дифференциального уравнения примет вид: [image].

№ 348. Найти общее решение [image] при начальных условиях

[image].

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image], [image]. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image]

Подставляем и получим: [image],

откуда [image].

Тогда [image]. Общее решение: [image] и [image].

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям [image]:

[image], [image], [image]

Находим, что [image], [image].

Окончательно, получим: [image]

Общее решение: [image].

Частное решение: [image].

№ 428. Исследовать на сходимость числовой ряд [image].

Решение:

Все члены этого ряда положительны, поэтому к нему можно применить признак Деламбера: [image], [image], тогда [image].

Так как [image], то числовой ряд сходится.

№ 438. Найти интервал сходимости степенного ряда [image], [image].

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера: [image], в нашем случае [image].