Контрольная работа 5: задачи 328, 338, 348. Контрольная работа 6: задачи 428, 438, 448, 458, 468

  • ID: 12201 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Контрольная работа 5: задачи 328, 338, 348. Контрольная работа 6: …

№ 328. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:

или..., интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда...

Общее решение примет вид:....

№ 338. Найти общее решение....

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда после замены, уравнение примет вид:... или....

Интегрируя обе части равенства, получим:

или.... Используя сделанную ранее замену..., получим:..., интегрируя обе части равенства, получим:....

В итоге общее решение дифференциального уравнения примет вид:....

№ 348. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:...

откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

Общее решение:....

Частное решение:....

№ 428. Исследовать на сходимость числовой ряд....

Решение:

Все члены этого ряда положительны, поэтому к нему можно применить признак Деламбера:......, тогда....

Так как..., то числовой ряд сходится.

№ 438. Найти интервал сходимости степенного ряда.......

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд расходится по необходимому признаку сходимости рядов..., в данном случае....

При...:... - ряд знакочередующийся.

Аналогично, по необходимому признаку сходимости рядов..., в данном случае....

Ответ: Ряд сходится при....

№ 448. Вычислить приближенно определённый интеграл, используя разложение в степенной ряд. Результат получить с точностью до 0,001.

Решение:

Задан определенный интеграл:....

Вычислить приближенно определённый интеграл, используя разложение в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

Воспользуемся разложением:...

Тогда:...

Вычислим определенный интеграл:

№ 458. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения... дифференциального уравнения..., удовлетворяющего начальному условию....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

Ответ:...

№ 468. Разложить данную функцию... в ряд Фурье в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

В нашем случае интервале... и.......

Вычислим:

Ответ:....