Контрольная работа 1, 2: вариант 8

  • ID: 12199 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1

Задача 18. Даны координаты вершин пирамиды.... Найти:

1) модули векторов...;

2) угол между векторами... и...;

3) угол между ребром... и гранью...;

4) площадь грани...;

5) объем пирамиды...;

6) уравнение прямой...;

7) уравнение плоскости...;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань....

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:...

2.......

Тогда:...

3. Для определения угла между ребром... и гранью..., определим уравнение грани... по формуле:.... Преобразуя, получим....

или уравнение грани... примет вид:....

Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:......, или...

4. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

5. объем пирамиды... вычислим по формуле:....

В итоге получим:....

6. Используя формулу, определим уравнение прямой...:

Подставляя данные, получим:....

7. Уравнение плоскости... уже было найдено в пункте 3 и имеет вид:

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань...:

Задание 30. Даны уравнения двух высот треугольника... и..., и одна из его вершин.... Составить уравнения сторон треугольника. Выполнить чертеж.

Решение:

Поскольку точка... не принадлежит уравнениям высот, то это высоты CE, BD опущенные соответственно из вершины С на прямую AB и B на прямую AC.

Определим уравнения сторон AC и AB из условий перпендикулярности 2-х прямых:

Соответственно уравнение стороны AC примет вид:

Соответственно уравнение стороны AB примет вид:

Из пересечения прямых AB и BD, определим координаты точки B:....

Соответственно координаты точки C имеют вид:

Уравнение стороны BC имеет вид:....

Задача 38. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности....

Решение:

Преобразуем уравнение окружности к каноническому виду:... - каноническое уравнение окружности с центром в точке... и радиусом....

Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую заданным условиям. Тогда кратчайшее расстояние от точки... до центра окружности за вычетом радиуса определится:.... Расстояние от точки... до оси ординат:.... По условию задачи....

Получим:....

Преобразуем:... - это уравнение параболы с центром в точке... и фокусом в точке....

Чертёж:

Задача 58. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить двумя способами: методом Гаусса и средствами матричного исчисления

Дано:...

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме... и решим ее методом Гаусса и с помощью обратной матрицы....

где..........

1). Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит система линейных совместна.

Получим систему уравнений вида:

Проверка:

2). Решим систему алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы. Решение имеет вид:....

Найдем... и сделаем проверку. Обратная матрица определяется по формуле...

По определению..., где....

Вычислим отдельно каждый элемент матрицы:

Тогда:...

Проверка:

Тогда...

Ответ:....

Контрольная работа 2

Задача 118. Вычислить пределы функций.

Решение:

a)...

б)...

в)...

г)...

Задача 128. Задана функция и два значение аргумента.

1. Установить непрерывность или разрыв в данных точках.

2. В случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа.

3. Выполнить схематический чертеж.

Решение:

1)... непрерывна в... и имеет разрыв в...

2)... - предел слева

- предел справа

В точке...... имеет разрыв 2-го рода, т.к. один из пределов равен бесконечности.

3)...

4) Строим график:

Задача 148. Для функции..., вычислить производную....

Решение:

а)....

б)...

в)...

г)...

д)...

Продифференцируем обе части равенства:...

Получим выражение для производной...:....

Преобразуем:....

158. Найти... и...

1)...

2)...

Вычислим предварительно:

Тогда:

Задача 178. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.......

Решение:

x (-1;2,72) 0 (2,72;4)

+ 0 -

y возрастает 0 убывает

В точке... максимум.

Значение функции на концах:......

Наибольшее значение функции:...

Наименьшее значение функции:...

Задача 198. Исследовать с помощью дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

1. Область определения функции.

Так как..., то....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четности и нечетности.

3. Асимптоты.

Функция не определена в точке.... Исследуем характер разрыва:

Таким образом, точке...- разрыв 2-го рода.

а) Горизонтальные асимптоты:

в) наклонные

y=k?x+b

b =...

Наклонная асимптота....

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда... ==>....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при.........: получим x = 0 и...- критические точки.

Проверим достаточные условия экстремума:

значит x = 0 точка минимума.

Минимальное значение....

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;0) 0 (0;1) 1 (1;...)... (...; +?)

+ 0 - Не существует - 0 +

y возрастает max

ymax=... убывает Разрыв

2-го рода убывает min

ymin=... возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

:... - точки перегиба....

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;...)... (...;0) 0 (0;1) 1 (1;+?)

+ 0 - 0 - не существует +

y вогнута выпукла выпукла вогнута

Построим график функции: