Вариант 6. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

  • ID: 11660 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Вариант 6

Задание 8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Решение:

Найти общее решение [image] при начальных условиях [image], [image].

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image]. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image].

[image], [image].

Подставляем и получим: [image], откуда [image].

Тогда [image]. Общее решение: [image] и [image].

Используя начальные данные, определим коэффициенты [image] и [image].

[image], [image]

[image].

[image]

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: [image].

Ответ: [image].

Задание 9. Исследовать на сходимость числовой ряд.

Решение:

Исследуем ряд [image].

Сравним данный ряд с гармоническим рядом: [image]. Для исследования ряда применим второй признак сравнения.

[image].

Предел конечен и не равен нулю и согласно второму признаку сравнения, так как расходится гармонический ряд [image], то расходится и исследуемый ряд.

Ответ: ряд [image] - расходится.

Задание 10. Найти область сходимости степенного ряда.

Решение:

Задан степенной ряд [image].

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин:

[image].

Все члены этого ряда положительны, поэтому к нему можно применить признак Деламбера: [image], [image],

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера: [image].

Найдем значение x, при которых этот предел будет меньше единицы, то есть решим неравенство: [image]. Умножим обе части неравенства на [image] и запишем полученное неравенство в виде двойного неравенства: [image]. Интервал симметричен относительно точки [image], а радиус сходимости [image].

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При [image] - ряд сходится.

При [image]: [image] - ряд знакочередующийся.

С возрастание n члены ряда убывают по абсолютной величине: [image]

Так как [image] и [image] то есть [image], то по теореме Лейбница ряд сходится.

При [image]: [image].