Вариант 6. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

  • ID: 11660 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Вариант 6. Найти частное решение дифференциального уравнения, удов…

Вариант 6

Задание 8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Решение:

Найти общее решение... при начальных условиях.......

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:....

Подставляем и получим:..., откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Используя начальные данные, определим коэффициенты... и....

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:....

Ответ:....

Задание 9. Исследовать на сходимость числовой ряд.

Решение:

Исследуем ряд....

Сравним данный ряд с гармоническим рядом:.... Для исследования ряда применим второй признак сравнения.

Предел конечен и не равен нулю и согласно второму признаку сравнения, так как расходится гармонический ряд..., то расходится и исследуемый ряд.

Ответ: ряд... - расходится.

Задание 10. Найти область сходимости степенного ряда.

Решение:

Задан степенной ряд....

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин:

Все члены этого ряда положительны, поэтому к нему можно применить признак Деламбера:......

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:....

Найдем значение x, при которых этот предел будет меньше единицы, то есть решим неравенство:.... Умножим обе части неравенства на... и запишем полученное неравенство в виде двойного неравенства:.... Интервал симметричен относительно точки..., а радиус сходимости....

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При... - ряд сходится.

При...:... - ряд знакочередующийся.

С возрастание n члены ряда убывают по абсолютной величине:...

Так как... и... то есть..., то по теореме Лейбница ряд сходится.

При...:....

Применим признак Деламбера для сходимости рядов:....

О сходимости ряда ничего нельзя сказать. Применим необходимый признак сходимости рядов.

- ряд сходится.

Ответ: ряд сходится при....

Задание 11. Вычислить приближенно определённый интеграл, используя разложение в степенной ряд. Результат получить с точностью до 0,001.

Решение:

Задан определенный интеграл:....

Вычислить приближенно определённый интеграл, используя разложение в степенной ряд.

Воспользуемся разложением:...

Тогда:...

Преобразуем выражение:...

Тогда:...

Вычислим определенный интеграл:...

Ответ:....

Задание 12. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения... дифференциального уравнения..., удовлетворяющего начальному условию....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

Ответ:...