Контррльная работа 1, 2, 3: вариант 2

  • ID: 11654 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Контррльная работа 1, 2, 3: вариант 2

Вариант 5.2

Контрольная работа №5.

Найти неопределённые интегралы.

1.....

2.....

3.....

4.....

5....

6....

7.....

8....

9....

Используя метод неопределенных коэффициентов, получим систему уравнений относительно переменных...:

Тогда...

В итоге

Вычислить определенный интеграл.

10....11........

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

12.....

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно....

13....

Следовательно, интеграл расходится.

Выяснить сходимость несобственных интегралов.

14.....

Так как... для всех..., а интеграл... сходится, то и исходный интеграл тоже сходится.

15.....

Для данного интеграла... подынтегральная функция имеет особенность в точках.... Точка... не входит в промежуток интегрирования. Поэтому, находим порядок роста этой функции относительно..., имеем

Таким образом, порядок роста равен... и интеграл сходится.

16. Найти площадь области, ограниченной кривыми....

Построим графики заданных функций и найдем их точки пересечения.

Точки пересечения... и....

Заметим, что... при....

Найти площадь области:

Ответ:....

17. Найти длину дуги кривой....

Длина дуги вычисляется по формуле:....

Вычислим производную данной функции....

Получим:

Ответ:...

Контрольная работа №6

Вариант 6.2

1. Вычислить..., если D - внутренность треугольника с вершинами в точках....

Перейдем к повторному интегралу и расставим пределы интегрирования в нем. Найдем уравнения прямых AB, AC, BC.

Уравнение прямой AB:....

Уравнение прямой AС:....

Уравнение прямой BC:....

Таким образом, область может быть задана неравенствами:

и....

Тогда....

Вычислим отдельно площади... и...:

Окончательно....

2. Изменить порядок интегрирования....

Исходная область представлена в виде объединения двух областей

Выполним чертеж:

Данная область ограничена кривыми.... Такую область можно задать

Поэтому....

3. Вычислить площадь области, заданной неравенствами..., перейдя предварительно к полярным координатам.

Данные неравенства задают область представленную на чертеже:

После преобразования уравнения окружности, получим:.... Перейдем к новым переменным по формулам.... В новых переменных область будет задаваться неравенствами.... Находя точки пересечения прямой... с окружностью..., получаем:....

На границе области лежит точка.... Поэтому в полярных координатах область будет задаваться неравенствами:....

Поэтому....

В итоге получим:....

4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями....

В тройном интеграле... перейдем к повторному и расставим пределы интегрирования. Данная область ограничена кривыми.... Проекция данной кривой на плоскость XOY есть треугольник ограниченный кривыми..., причем....

Получим:...

В итоге получим, что....

5. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферических координатах)..., где V - область, заданная неравенствами....

Заданной областью является внутренняя поверхность сферы радиуса..., сосредоточенная в первом октанте и ограниченная плоскостями....

Для вычисления интеграла перейдем в сферическую систему координат:...

Причем в данном случае:.... Для сферической системы координат матрица Якоби... равна:....

Тогда:...

Таким образом....

6. Найти работу силы... по перемещению точки вдоль участка кривой... от... до....

Работа по перемещению материальной точки равна криволинейному интегралу второго рода.... Так как..., то исходный интеграл примет вид:....

Работа силы по перемещению точки:....

7. Проверить, что поле... потенциально и восстановить потенциал.

Так как... и..., то... и потенциально во всей плоскости. Следовательно, криволинейный интеграл... по любому пути, соединяющему две точки, не зависит от пути интегрирования.

В качестве начальной точки интегрирования возьмем... выберем начало координат.... Конечную точку возьмем произвольную с координатами.... Наиболее простым путем интегрирования являются две возможные ломанные, состоящие из отрезков прямых, параллельных координатным осям. Поэтому для пути, изображенного на рисунке (с учетом того, что...).

Таким образом.... Заметим, что функция... так же является потенциалом исходного поля.

8. Вычислить поток вектора... через часть поверхности..., лежащую в первом октанте.

Поток вектора через поверхность равен поверхностному интегралу второго рода.... Поверхность однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Поэтому интеграл может быть вычислен с помощью проектирования на них.

Тогда..., где... - проекции поверхности... на координатные плоскости... соответственно. Знаки плюс перед интегралами взяты потому, что вектор нормали к поверхности составляет острые углы со всеми координатными осями. Посчитаем каждый из интегралов отдельно. Имеет

Поэтому поток вектора через поверхность равен....

9. Вычислить поток вектора... через замкнутую поверхность....

По теореме Гаусса - Остроградского поток векторного поля через замкнутую поверхность равен:

Переходя к полярным координатам, окончательно получаем:

Контрольная работа №7

Вариант 7.2

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а)...

Данное дифференциальное уравнение является однородным, так как функции... и... однородные функции второй степени. Приведем уравнение к виду:... деление на..., получим:.... Заменой... и..., исходное уравнение примет вид:.... Полученное уравнение является уравнение с разделяющимися переменными. Таким образом, получим:.... Используя замену, перепишем решение в другом виде:...

Ответ:....

б)...

Преобразуем данное уравнение, и перепишем его в виде:....

В итоге получим выражение:....

Ответ:....

в)....

Воспользуемся формулой:.... В нашем случае....

Тогда.... Проинтегрировать обе части дифференциального уравнения.

Получим:....

Ответ:....

2. Решить задачу Коши....

Делаем замену..., тогда.... Подставляя в уравнение, получаем:

Используя начальные данные..., получим:..., значит....

Так как..., то получим:....

Используя начальные данные и преобразуя последнее выражение, получим:

Ответ:....

3. Для уравнения...:

а) найти общее решение соответствующее однородному уравнению...;

б) найти частное решение неоднородного уравнения, если...; записать общее решение этого уравнения;

в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям...;

г) записать частное решение с неопределенными коэффициентами, если....

а) Соответствующее однородное уравнение имеет вид.... Корнями его характеристического уравнения... являются числа...- корень кратности 3 и.... Поэтому общее решение записывается в виде:....

б) Частое решение неоднородного уравнения будем искать по виду правой части. Заданную правую часть... можно представить в виде..., поэтому..., следовательно... не является корнем характеристического уравнения и.... Частное решение ищем в виде:....

Тогда:................

Подставляя в исходное уравнение и приводя подобные, получаем:..., откуда.... Следовательно, частное решение имеет вид:.... Соответственно, общее решение этого уравнения есть

в) Найдем производные от полученного решения:

Имеем

Для определения неизвестных, решаем систему, получаем:

Таким образ частное решение, удовлетворяющее исходным начальным данным, имеет вид

г) По теореме о наложении решений частным решение данного уравнения является функция..., где...- частное решение уравнения с правой частью......- частное решение уравнения с правой частью......- частное решение уравнения с правой частью.... Корнями характеристического полинома соответствующего однородного уравнения являются корни...и.... Для правой части... число... не является корнем характеристического уравнения, поэтому.... Для правой части... число... не является корнем характеристического уравнения, поэтому.... Для правой части... число... является корнем кратности 3 характеристического уравнения, поэтому....

4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Перепишем систему в матричной форме:....

Тогда соответствующая однородная система уравнений имеет вид:....

Составляем уравнение.... Раскрывая определитель, получаем уравнение.... Составляем однородную систему линейных уравнений для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному числу...:

или в координатной форме:.... Полагая..., получаем фундаментальную систему решений рассматриваемой системы линейных уравнений, и следовательно, собственный вектор... матрицы системы дифференциальных уравнений, соответствующий собственному числу.... Аналогично для собственного числа..., решая систему уравнений..., получаем собственный вектор.... Поэтому фундаментальная система решений данной системы дифференциальных уравнений состоит из функций:

Решение исходной системы ищем в виде:....

Подставляя в исходное уравнение, получаем систему... или, в координатной форме:

Решая систему, находим:....... Проинтегрировав, имеем:.......

Общее решение исходной системы имеет вид: