Контрольная работа 3, 4, вариант 8, шифр 98

Фрагмент работы:

Контрольная работа 3, таблица 1.

Задача 8. Найти решение задачи Коши: [image], [image].

Решение: Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде [image].

Получим после подстановки: [image]. (1)

Пусть [image], тогда [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image]. Подставляя в (1), получим:

[image] или [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image], [image]. Тогда [image] - общее решение.

Общее решение примет вид: [image].

Используя начальные данные [image], получим [image] или [image].

Тогда решением задачи Коши является функция [image].

Задача 28. Найти общее решение дифференциального уравнения [image].

.

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image] - корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image]

Подставляем и получим: [image], откуда [image].

Тогда [image]. Общее решение: [image] и [image].

Задача 48. Дан степенной ряд [image] написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Причем: [image].

Решение: дан ряд [image], написать первые четыре члена ряда

[image]

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера: [image], в нашем случае [image]. Тогда [image].

При [image] - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При [image]: [image] - ряд знакочередующийся.

Так как [image] и [image] то есть [image] , то по теореме Лейбница ряд сходится.

При [image]: [image].

Применим интегральный признак сходимости рядов: [image] - интеграл расходится, значит расходится и ряд.

Ответ: Ряд сходится при [image]

Задача 68. Найти 4 члена разложения в ряд Маклорена функции [image].

Решение: Преобразуем функцию

[image].

Используя разложение

[image]

[image]

Получим: [image]