Контрольная работа 3, 4, вариант 8, шифр 98
- ID: 11536
- 7 страниц
Фрагмент работы:
Контрольная работа 3, таблица 1.
Задача 8. Найти решение задачи Коши: [image], [image].
Решение: Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде [image].
Получим после подстановки: [image]. (1)
Пусть [image], тогда [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:
[image] или [image], где [image]. [image]. Подставляя в (1), получим:
[image] или [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image], [image]. Тогда [image] - общее решение.
Общее решение примет вид: [image].
Используя начальные данные [image], получим [image] или [image].
Тогда решением задачи Коши является функция [image].
Задача 28. Найти общее решение дифференциального уравнения [image].
.
Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение
[image], [image] - корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image]
Подставляем и получим: [image], откуда [image].
Тогда [image]. Общее решение: [image] и [image].
Задача 48. Дан степенной ряд [image] написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Причем: [image].
Решение: дан ряд [image], написать первые четыре члена ряда
[image]
Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера: [image], в нашем случае [image]. Тогда [image].
При [image] - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:
При [image]: [image] - ряд знакочередующийся.
Так как [image] и [image] то есть [image] , то по теореме Лейбница ряд сходится.
При [image]: [image].
Применим интегральный признак сходимости рядов: [image] - интеграл расходится, значит расходится и ряд.
Ответ: Ряд сходится при [image]
Задача 68. Найти 4 члена разложения в ряд Маклорена функции [image].
Решение: Преобразуем функцию
[image].
Используя разложение
[image]
[image]
Получим: [image]