Контрольная работа 3, 4, вариант 8, шифр 98

Фрагмент работы:

Контрольная работа 3, таблица 1.

Задача 8. Найти решение задачи Коши:.......

Решение: Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:

или..., интегрируя обе части равенства, получим:....... Тогда... - общее решение.

Общее решение примет вид:....

Используя начальные данные..., получим... или....

Тогда решением задачи Коши является функция....

Задача 28. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

- корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:..., откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Задача 48. Дан степенной ряд... написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Причем:....

Решение: дан ряд..., написать первые четыре члена ряда

…

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае.... Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Так как... и... то есть..., то по теореме Лейбница ряд сходится.

При...:....

Применим интегральный признак сходимости рядов:... - интеграл расходится, значит расходится и ряд.

Ответ: Ряд сходится при...

Задача 68. Найти 4 члена разложения в ряд Маклорена функции....

Решение: Преобразуем функцию

Используя разложение

…

Получим:...

Ответ:...

Задача 88. При начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

…

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

…

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

…

Контрольная работа 4, таблица 1.

Задача 8. Из данных 20 мужчин 1 страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что при случайном выборе 10 мужчин из этих 20 один страдает дальтонизмом?

Решение:

Для расчета вероятности будем использовать формулу классической вероятности. Общее количество равновозможных исходов равно количеству способов выбора 10 мужчин из двадцати, т.е..... Количество благоприятных исходов равно.... Тогда по формуле классической вероятности получим:

Задача 28. Два автомата производят детали. Вероятность изготовления стандартной детали на первом автомате..., а на втором.... Производительность второго автомата в... раза больше. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартная. Какова вероятность, что она изготовлена первым автоматом.

Решение:

Введем события:

Событие А - наудачу взятая деталь стандартная

Событие Н1 - изготовлена стандартная деталь на первом автомате

Событие Н2 - изготовлена стандартная деталь на втором автомате

Следовательно, используя формулу полной вероятности, получим:

где...

В нашем случае.......

Производительность второго автомата в... раза больше, значит..., где

x - производительность первого автомата. Тогда......

Тогда, вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартная:

Используя формулу Байеса, найдем вероятность того, что деталь изготовлена

первым автоматом:

Задача 48. Задан закон распределения дискретной случайной величины X. Найти:

1. Значение параметра a.

2. Математическое ожидание M(X).

3. Дисперсию D(X).

4. Построить многоугольник распределения.

Решение:

Проверка:...

Закон распределения:

51 52 54 55 57

0,2 0,3 0,1 0,3 a

1. Значение параметра a:

Проверка:...

2. Математическое ожидание...

тогда...

3. Дисперсия...

Вычислим..., тогда...

5. Построим многоугольник распределения:

Задача 68. случайная величина X задана функцией распределения. Требуется:

1. Найти функцию плотности вероятности...

2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X

3. Построить график функции... и...

Решение:

Случайная величина X задана функцией распределения:

…

Требуется:

Найдём функцию плотности вероятности...

…

Найдём математическое ожидание и дисперсию случайной величины X:

…

или...

тогда....

Построим график функции... и...:

…

Задача 88. Предположим, вес яйца - нормально распределенная случайная величина X, с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением.... В заготовку принимаются яйца от... до... граммов веса. Определить:

а) вероятность того, что наудачу взятое яйцо пойдёт в заготовку

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-a окажется меньше...

в) по правилу трех сигм найти наименьшую и наибольшую границы предполагаемого веса яйца.

Решение:...

а) Вероятность того, что наудачу взятое яйцо пойдёт в заготовку определим, воспользовавшись формулой:...

где... - функция Лапласа, значение которой находится из таблицы.

В данном случае...

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения... окажется меньше... определим, воспользовавшись формулой:....

В данном случае...

в) по правилу трех сигм найдем наименьшую и наибольшую границы предполагаемого веса яйца, воспользовавшись формулой:...

тогда....

Наибольшая граница: 59+18=77.

Наименьшая граница: 59-18=41.

…